Ортонормированный базис

Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:

e₁ = i, e₂ = j, e₃ = k.

Координаты вектора обычно обозначаются буквами x, y, z:

a = {x, y, z} º xi + yj + zk.

Длина вектора в ортонормированном базисе равна

(7.5)

Вектор однозначно можно определить не только заданием его координат, но и заданием длины вектора и его направления. Направление вектора в ортонормированном базисе задается при помощи направляющих косинусов:

(7.6)

где a, b, g – углы между вектором a и базисными векторами i, j, k, соответственно. Очевидно, что направляющие косинусы совпадают с координатами орта вектора: a₀={cosa, cosb, cosg}. При этом

(7.7)

Пример 7.4. Найти координаты вектора a, если он составляет с вектором i угол 60⁰, с вектором j – 120⁰, а с векторов k – острый угол, при этом длина вектора |a|=2.

Решение. Учитывая, что a=60⁰, b=120⁰, найдем угол g из уравнения

Отсюда находим

Следовательно, g=45⁰ или 135⁰. По условию g – острый, т.е. g<90⁰. Тогда g=90⁰. Таким образом, получаем

т.е. орт вектора a имеет координаты

.

Поскольку |a|=2, то

или в явной форме

â

Вопросы. Может ли вектор образовывать с векторами ортонормированного базиса углы: а) 45⁰, 60⁰, 60⁰; б) 30⁰, 60⁰, 45⁰?