Коммутация

Определение. Коммутация (изменение параметров) может быть в результате подключения или отключения источников или в результате подключения и отключения элементов цепи.

 

Идеальный ключ (_/ _)

R_кз=0 R_р=0

Время за которое ключ включается (t комутации)

 

t=_0=0_ - t непосредственно перед комутацией

t=₊0=₊0 - t непосредственно после комутации

t_к=t ₀₊-t₀

V₁(t) R L C Y₁(t)

U итд V₁(t)

V₂(t) Y₂(t) V(t) = V₂(t)

. X₁(t), … ,X_n(t) . .

. X(t) . V_n(t)

V_n(t) Y_n(t)

V(t) – матрица-столбец внешних переменных (независимые источники Y и U).

Y(t) - матрица столбец искомых выходных переменных .

Y₁(t) X₁(t)

Y(t)= Y₂(t) X(t)= X₂(t)

. .

Y_n(t) X_n(t)

 

X(t) – матрица внутренних переменных (переменные состояния).

Замечание: в качестве переменных состовляющих рассматриваются токи в L элементах и U на C элементах, т.к. эти элементы полностью определяют электронное состояние цепи в любой момент t.

 

W_М=L*(i_L)²/2 W_Э =C*(U_c)²/2

 

Для анализа цепи рассматриваются компонентные и топологические уравнения.

Компонентные уравнения Топологические

Ur(t)=r_i(t) I A*i(t)=0

U_L(t)=L*(di_L/dt) II B*i(t)=0

i_C(t)=C*(dU_C/dt)

Эти уравнения справедливы для всех ком. t.

 

Для произвольной линейной цепи в результате преобразования уравнений Киргофа и компонентных уравнений можно получить систему n диф. уравнений 1-ого порядка.

Эти n уравнения составленные для переменных состояния (X(t)) называются матричными уравнениями состояния.

1) dX(t)/dt=X’(t)=A₁*X(t)+B₁*V(t)

2) Y(t)=A₂*X(t)+B₂*V(t)

 

A₁=[n x n] A₂=[m x n] B₁=[n x n] B₂=[n x m]

 

Преобразуем эту систему уравнений в дифферанциальные уравнения n-ого порядка.

a_n*(dⁿx/dtⁿ) + a_n-1*(d^n-1x/dt^n-1)+…+a₁*(dx/dt) + a₀*x=0

для нахождения общего решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение. dx/dt & (&-это лямбда)

a_n*&ⁿ + a_n-1*&^n-1+…+a₁*& + a₀=0 Получилось n корней.

 

X_OO= E_(k=1-n)A_K*e^&k*t E_(k=1-n) - означает сумма по k от 1 до n, &k-&_k