Дробные планы многофакторных экспериментов.

Если априорно известно, что эффект взаимодействия всех факторов пренебрежимо мал, то можно не проводить повторных опытов в каждой точке плана. Тогда в качестве дисперсии ошибки наблюдений принимается величина _ост =. В остальном схема анализа не меняется. Анализ значимости факторов и их взаимодействий может быть проведен аналогично и при большем числе факторов.

Учитывая, что эффектами старшего порядка, как правило, можно пренебречь на практике для проведения анализа используют планы факторных экспериментов, сокращая не только число наблюдений в каждой точке, но и число точек наблюдения.

Рассмотрим наиболее употребительные виды планов.

В случаях, когда всеми эффектами взаимодействия (или частью их) можно пренебречь для анализа значимости главных эффектов можно использовать модель Д.А. (линейную), содержащую только главные эффекты уровней факторов, и для проведения экспериментов (наблюдений над исследуемой системой) использовать дробные факторные планы ( т.е. реплики).

В случаях, когда число уровней изменения факторов одинаково, равно p и есть простое число ( p = 2,3,5,7,…), для построения дробных факторных планов могут быть использованы идеи построения ДФП для двухуровневых ДФП типа 2^k^-^m , рассмотренные ранее. При этом также используются понятия генерирующих соотношений, позволяющих задать порядок смешивания главных эффектов и эффектов взаимодействия.

Для построения планов и анализа смешивания эффектов используются арифметические операции сложения по модулю K ( k – число переменных ).

Частным случаем дробных реплик для многофакторных, многоуровневых экспериментов являются так называемые латинские, греко-латинские квадраты, гипергреко-латинские квадраты, латинские кубы и т.п. Рассмотрим их более подробно.

Латинские квадраты используются в 3-х факторном дисперсионном анализе и впервые нашли применение в сельскохозяйственных экспериментах.

Пусть рассматривается 3 фактора А, В и С, каждый из которых имеет p уровней варьирования. Предположим, что эффект взаимодействия факторов А и В с фактором С отсутствуют. Составим полный факторный план для факторов А и В и для каждой точки этого плана будем задавать уровни фактора С таким образом, чтобы они встречались в каждой строке и каждом столбце ПФП факторов А и В только один раз ( например при p = 4 можно записать)

Уровни фактора А	Уровни фактора В

В каждой точке плана проводится по (n = 1) одному наблюдению. В результате чего получаем N = p*p значений выходной переменной i,j,k=1..p - уровни факторов в точке плана. В соответствии с линейной моделью, учитывая незначимость эффектов взаимодействия (они пренебрежительно малы) измеренное значение можно записать в виде

где - эффект от влияния соответствующих уровней факторов А, В,С.

- ошибка наблюдений (включает в себя влияние всех неучтенных факторов и априорно незначимых эффектов взаимодействия). Считаем, что ошибки подчинены нормальному закону распределения с m_e=0; D_e=s² и независимы.

Отклонение измеренной величины от общего среднего можно представить в виде

где вместо используются выборочные средние

- включает в себя все отклонения, связанные с взаимодействиями и ошибки наблюдений .

Возведя обе части в квадрат и просуммировав получим для данной модели основное тождество вариаций

где:

- суммы квадратов отклонений, подчиненные s²c² распределению с числом степеней свободы соответственно

r_A= r_B= r_C=p-1

r_общ=p²-1

r_ост=(p²-1)-3(p-1)=(p-1)(p-2)

Отсюда можно вычислить соответствующие оценки дисперсий.

Величина есть оценка дисперсии ошибки наблюдений s².

Проверка значимости влияния факторов проводится с помощью отношения соответствующих дисперсий

которые подчинены F распределению с числом степеней свободы числителя r_числ=(р-1) и знаменателя r_знам=(р-1)(р-2).

Если вычисленные значения меньше критического, найденного из F – распределения при заданном уровне значимости a, то гипотеза принимается (фактор – незначим), иначе отвергается (фактор – значим).

Латинский квадрат является репликой ПФЭ. При построении его часто используют концепцию случайного выбора его из множества планов подобного типа (множества реплик).

Для построения латинского квадрата используют так называемый стандартный латинский квадрат, у которого 1-я строка и 1-й столбец сформированы в стандартном порядке (например, в порядке возрастания номера уровня третьего фактора – С). Остальные элементы квадрата заполняются с учетом требования – по одному одинаковому уровню в каждой строке и столбце. Число различных вариантов заполнения элементов первой строки первого столбца квадрата равно р!(р-1)!.

Число вариантов заполнения остальных элементов квадрата при p = 2 и p = 3 равно единице, при p = 4 (4), р = 5 (56), p = 6 (9408)и т.д.

Для выбранной случайным образом стандартной формы строки и столбцы квадрата случайным образом также меняются местами (рандомизируются).

При 4-х факторном анализе используются латинские кубы или греко-латинские квадраты.

Латинский куб строится аналогично латинскому квадрату. Для этого сначала строится ПФП для выбранных 3-х факторов (например А,В,С), который имеет форму куба со стороной из р элементов (число точек = р³). Затем для каждой точки куба задаются уровни фактора D таким образом, чтобы они не повторялись в каждом сечении куба.

Если априорно известно, что отсутствует взаимодействие пар факторного (например А,В и С,D), то для анализа могут использоваться греко-латинские квадраты.

Для этого для выбранной пары (А,В) строится ПФП в виде квадрата р*р. Каждому его элементу ставятся в соответствии уровни сразу обеих других факторов (С и D) таким образом, чтобы выполнялось стандартное требование по повторяемости их в строках и столбцах плана р*р. Это можно обеспечить накладывая один на другой квадраты, полученные для факторов АВС и АВD.

Название планов пошло от латинских и греческих букв, используемых при их построении.

Математическая модель и способы анализа аналогичны рассмотренным ранее.

Латинские и греко-латинские квадраты в общем случае являются ненасыщенными планами(число точек плана > (k+1)).

Для анализа зависимости главных эффектов более целесообразно использование насыщенных планов (если априорно известно о несущественности эффектов взаимодействия).

Примером таких планов являются насыщенные планы Плакетта – Бермана.