Трехфакторный ДА

Лекция 16

Пусть имеется три фактора A,B и C, каждый из которых изменяется соответственно на I,J,K уровнях. Каждый из возможных вариантов задания входных переменных (факторов) отвечает одной из комбинаций различных их уровней . Общее число вариантов будет N_вар=. В каждой точке производится по n независимых наблюдений . Тогда общее число наблюдений будет: N=.

Результат каждого наблюдения может быть представлен в виде:

где - общее мат. ожидание наблюдений величины y

- эффект от влияния i-го (j-го,k-го) уровня фактора A (B,C)

- эффект от влияния взаимодействий i,j уровней (ik,jk) факторов A и B (A и C, B и C).

- эффект от влияния уровней i,j,k взаимодействия факторов A,B,C.

- ошибка наблюдений (подчинена нормальному закону распределения с mx=0; Dx=s2 и независима).

 

Отклонение результата наблюдений от общего среднего можно представить как сумму независимых слагаемых

здесь - оценки соответствующих средних (мат.ожиданий)

- аналогично

Возведя обе части в квадрат и просуммировав по всем наблюдениям с учетом независимости наблюдений получим основное тождество вариаций дисперсионного анализа

_{общ.ост.}

 

Каждая из вариаций подчинена распределению с соответствующим числом степеней свободы.

 

Раэделив вариации на число степеней свободы получим оценки дисперсий:

 

Величина _ост характеризует ошибку наблюдений.

При проверке значимости факторов используют статистики:

,

 

подчиненные F распределению с соответствующим числом степеней свободы числителя и знаменателя.

При проверке значимости эффектов взаимодействия используют статистики:

 

Если какие-либо из них больше критических, определяемых из таблицы при заданном уровне значимости, то эти факторы (взаимодействия) значимы.

Выявление уровней, вызывающих это влияние может проводится специальными методами (например, метод линейных контрастов, ранговый метод Дункана и др.)