Mетоды экспериментальной оптимизации

Лекция 14

Как уже говорилось ранее для решения задачи достижения почти стационарной области (области наилучших значений выходной переменной) используется два подхода.

1.Методы,использующие апроксимацию поверхности отклика в локальной области гиперплоскостью с целью определения наилучшего направления движения в сторону оптимума (например,метод крутого восхождения - при максимизации функции отклика).

2.Методы,определяющие направление движения на каждом шаге по результатам очередного наблюдения,сравнивая его с результатами предыдущих наблюдений (например,симплекс-метод).

Второй подход ,по сравнению с первым,допускает применение на действующих системах (установках) за счёт незначительных отклонений от номинальных режимов работы и не приводит к недопустимым режимам.

Рассмотрим эти методы более подробно.

 

Mетод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона)

Метод представляет собой сочетание градиентного метода оптимизаци с дробным факторным экспериментом, применяемым для апроксимации поверхности отклика полиномом первого порядка, обеспечивающим получение оценки градиента функции отклика в заданной точке с минимальной дисперсией.

Суть метода заключается в следующем. Выбирается (на основе априорной информации) начальная точка x⁰, из которой будет осуществляться поиск оптимальных (близких к нему) значений входных переменных.

Используя эту точку как центр плана,строится полный или дробный факторный план,по результатам эксперимента в котором строится линейная модель функции отклика:

y(x,b)=b₀+b₁x₁+...+b_kx_k

Вид плана выбирается таким образом,чтобы перенасыщенность его была минимальной (число точек плана по возможности не намного превышало число определяемых коэффициентов).

Данное уравнение является уравнением гиперплоскости в (k+1)-мерном пространстве,касательной к поверхности отклика в точке x⁰. Коэффициенты характеризуют её наклон относительно осей координат и являются составляющими вектора градиента, обеспечивающего движение в области изменения переменных в направлении крутого (наискорейшего) восхождения по этой гиперплоскости в сторону возрастания целевой функции :

где -единичный вектор в направлении переменных (орты).

Если уравнение регрессии y(b,x) адекватно,то можно осуществлять движение вдоль линии крутого восхождения, определяя в каждой точке значения функции отклика по результатам наблюдений.Движение в данном направлении осуществляется до тех пор, пока не будет достигнуто наибольшее значение функции отклика .

В найденной точке вновь строится ПФП (ДФП), снова строится линейная модель о определяется новое направление движения в сторону оптимума. Снова осуществляется движение в направлении наискорейшего восхождения до точки, обращающей в максимум функцию отклика и т.д.(см. рисунок)

Процесс продолжается до тех пор,пока линейная модель адекватна и имеются значимые коэффициенты. Если линейная модель становится неадекватной, то делается попытка увеличить интервалы варьирования переменных и построить новую линейную модель.

Если это не приводит к положительным результатам ,то дальнейшее движение по градиенту нецелесообразно. В этом случае в центре плана x⁰ проводится n₀ дополнительных экспериментов и оценивается значимость влияния квадратичных членов. Если оно значимо, то можно считать, что цель второго этапа исследований-достижение почти стационарной области-реализована,и можно приступать к третьему этапу исследований.

Иначе делается либо новая попытка увеличения (изменения) интервалов варьирования переменных,либо центр плана экспериментов переносится в другую точку.