Двухфакторный дисперсионный анализ.

Лекция 4

В общем случае задача двухфакторного дисперсионного анализа формулируется следующим образом (Юсупов).

Имеются два фактора х₁ и х₂, каждый из которых имеет соответственно m₁ и m₂ уровней. Для каждого из m₁×m₂ сочетаний уровней проводится n – одинаковое число наблюдений (в общем случае – разное), k = 1… n – номера наблюдений.

Общее число наблюдений N = m₁×m₂×n дают N значений наблюдаемой величины y ().

Например: х₁ – наблюдатели, а i = 1…m₁ – отдельные лица, обладающие различной квалификацией; х₂ – приборы (j = 1…m₂), обладающие различной точностью. По результатам наблюдений {y_ijk} требуется определить, что является причиной их отличия друг от друга – действие фактора х₁ (квалификация наблюдателя), фактора х₂ (различия в приборах), взаимное влияние факторов х₁ и х₂ или другие неучтенные факторы.

В соответствии с моделью двухфакторного анализа каждый результат наблюдения можно представить в виде

, где

- общее математическое ожидание наблюдаемой величины у;

- эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора х₁;

- эффект, обусловленный взаимным влиянием j-го уровня фактора х₂;

- эффект, обусловленный взаимным влиянием i-го уровня фактора х₁ и j-го уровня фактора х₂ (эффект взаимодействия);

- ошибка за счет влияния других неучтенных факторов.

Эффекты от соответствующих факторов или их взаимодействий определяются как:

, i = 1…m₁

, j = 1…m₂

,

i = 1…m₁, j = 1…m₂

Здесь:

- групповое математическое ожидание выходной переменной у на i-м уровне фактора х₁ (в i-й группе);

- групповое математическое ожидание выходной переменной у на j-м уровне фактора х₂;

- математическое ожидание выходной переменной у при фиксированных уровнях i и j факторов х₁ и х₂ соответственно;

- математическое ожидание выходной переменной у в генеральной совокупности;

ошибка - независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (m_e = 0) и дисперсией D_e = s², одинаковой для всех i, j уровней факторов.

Пусть для каждого сочетания уровней факторов проводится одинаковое число наблюдений n (n > 1).

Представим отклонение результата наблюдения от общего среднего в следующем виде:

Здесь вместо математических ожиданий выходной переменой у взяты их оценки, вычисляемые по результатам наблюдений.

, i = 1…m₁

, j = 1…m₂

, i = 1…m₁, j = 1…m₂

Возведем обе части в квадрат и просуммируем по всем уровням i, j и наблюдениям k.

Учитывая, что суммы эффектов по всем уровням равны нулю, т.е. ; ; , кроме того - средняя ошибка на фиксированном уровне.

Можно показать, что в результате получим следующее выражение, являющееся основным тождеством вариаций дисперсионного анализа:

Или иначе

- разложение общей вариации результатов наблюдений, где

, - факторные вариации (за счет действия факторов х₁ и х₂);

- вариация взаимодействия;

- остаточная вариация;

- общая вариация.

(фактор 1)

(фактор 2)

(взаимодействие)

(остаток)

 

Можно показать, что в результате получим следующее выражение , являющееся основным тождеством вариаций дисперсионного анализа :

Или иначе :

S²_o=S²₁+S²₂+S²₁₂+S²_ост

– разложение общей вариации результатов наблюдений , где :

S²₁ , S²₂ – факторные вариации ( за счет действия факторов х₁ и х₂ ) ;

S²₁₂ – факторные взаимодействия ;

S²_ост – остаточная вариация ;

S²_общ – общая вариация ;