Лабораторная работа №14. Крутильный маятник
Цель работы –измерение моментов инерции твердых тел при помощи крутильных колебаний.
Лабораторная установка,входящая в состав комплекса «Физические основы механики», состоит из электронного блока (2) для измерения времени движения и числа периодов, установленного на основании (1). На вертикальной колонне (3) закреплены три кронштейна: нижний (4), средний (5) и верхний (6). Между верхним и нижним кронштейнами натянута проволока, удерживающая рамку (10). На среднем кронштейне держится подковообразная стальная плита (11), которая служит основанием фотоэлектрическому датчику (9), электромагниту (8) и шкалой для измерения угла отклонения (12).
Положение электромагнита можно менять. Верхнюю планку рамки можно перемещать и закреплять при помощи винтов и устанавливать в ней грузики различных форм и размеров (7).
Рис. 7. Установка «Крутильный маятник»
Показания миллисекундомера обнуляются при нажатии клавиши «СБРОС», после нажатия клавиши «ПУСК» отключается электромагнит и рамка приходит в движение. После нажатия кнопки «СТОП» время движения маятника измеряется до завершения очередного полного периода колебаний, то есть, до первого нечетного прохождения рамкой через фотодатчик.
Теория эксперимента:момент инерции твердого тела относительно произвольно направленной оси вращения, проходящей через центр масс, с единичным направляющим вектором , имеющим координаты
, вычисляется по формуле:
. (1)
Здесь ,
,
- компоненты тензора инерции в главных осях. В симметричных телах главные оси либо совпадают с осями симметрии, либо перпендикулярны плоскостям симметрии. В настоящей работе мы будем рассматривать куб и прямоугольные параллелепипеды. Система координат в главных осях в таких телах будет иметь начало в центе масс тела, а оси будут проходить перпендикулярно основным граням тел.
Для измерения моментов инерции тел будет использоваться метод крутильных колебаний. Твердое тело закрепляется в рамке крутильного маятника и под действием момента упругой силы возникающей в проволоке, рамка совершает крутильные колебания, уравнение которых имеет вид:
, (2)
где – момент инерции маятника с телом, D – постоянная момента упругих сил. Из уравнения (2) можно получить период крутильных колебаний:
. (3)
Момент инерции маятника складывается из момента инерции пустой рамки и момента инерции J закрепленного в ней тела:
. (4)
Очевидно, что период колебаний пустой рамки будет равен
. (5)
Из уравнений (3) и (5) с учетом (4) легко исключить неизвестную D, тогда:
. (6)
В формуле (6) осталась одна неизвестная величина – это момент инерции рамки . Его можно найти, если измерить период колебаний рамки с эталонным телом
, момент инерции
которого заранее известен:
. (7)
В качестве такого тела мы будем применять однородный куб. Его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс равен:
, (8)
где m – масса, а – ребро куба. Из соотношений (6) и (8) получим формулу для расчета момента инерции тела, закрепленного в рамке:
. (9)
Как следует из формулы (1), момент инерции твердого тела зависит от ориентации оси вращения относительно его главных осей. Очевидно, что и период колебаний рамки с телом будет зависеть от ориентации тела по отношению к рамке:
. (10)
– направляющий вектор оси вращения (оси рамки).
Теперь применим формулу (1), а также полученные выше формулы к различным твердым телам. Главные моменты куба равны между собой =
=
, поэтому при любом направлении оси вращения
момент инерции куба относительно этой оси:
. (11)
Периоды крутильных колебаний куба должны совпадать для всех осей вращения, проходящих через его центр масс.
. (12)
В случае симметричного прямоугольного параллелепипеда два главных момента совпадают между собой и не равны третьему:
. (13)
Поэтому периоды колебаний относительно главных осей OX и OY будут равны между собой и отличаются от колебаний вокруг оси OZ:
. (14)
Рис. 8. Симметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения CC’ – пространственная диагональ. Диагонали, параллельные граням: AA’ и BB’.
На рисунке 8 показан симметричный прямоугольный параллелепипед со сторонами a и c. Найдем его моменты инерции относительно трех показанных на рисунке осей вращения. Относительно оси AA’:
. (15)
Направляющие косинусы оси вращения найдем из размеров тела:
,
. (16)
Из формул (15) и (16) очевидно, что
. (17)
Относительно другой диагонали BB’:
. (18)
,
,
. (19)
. (20)
Теперь найдем момент инерции относительно большой диагонали CC’:
. (21)
,
,
. (22)
Тогда
. (23)
Рис. 9. Несимметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения AA’ – пространственная диагональ. Параллельные граням диагонали – BB’, CC’, DD’.
Теперь запишем выражения, связывающие моменты инерции относительно диагоналей несимметричного прямоугольного параллелепипеда, показанных на рисунке 9 с его размерами и главными моментами.
. (24)
. (25)
. (26)
. (27)
Исходя из формул, полученных в данной работе, можно доказать, что между периодами колебаний и направлением оси вращения существует зависимость:
. (28)