Зонная теория твердого тела

При объединении атомов в кристалл значение энергии атома изменяется по отношению к изолированному атому: появляется диэлектрическая проницаемость , ядра кристаллической решетки создают потенциальное поле . Рассмотрим кристаллическую решетку с периодом аn.

Электрон, находящийся на орбитали атома, связан со «своим» ядром, вероятность его перемещения по кристаллу под воздействием температуры или внешнего электрического поля мала. Говорят, что такой «квазисвязанный» электрон находится в «потенциальной яме». Под влиянием внешних факторов (света, температуры и т.д.) электрон может увеличить свою кинетическую энергию и перейти на следующий энергетический уровень, вплоть до полного освобождения от влияния «своего» ядра.

а б
в
Рис. 1.1

При сближении атомов потенциальные кривые частично налагаются друг на друга (штриховая линия рис. 1.1,б) и дают результирующий потенциальный рельеф (сплошные линии) с пониженными потенциальными барьерами между атомами. Говорят, что валентные электроны обобществляются, и каждый электрон теперь принадлежит всему кристаллу.

До тех пор, пока электрон будет находиться в кристалле, он будет не совсем свободен, то есть находиться в периодическом поле всей решетки кристалла. Другими словами даже «свободный» электрон будет принадлежать всем образующим кристалл атомам. При этом электрон получает возможность беспрепятственно перемещаться по кристаллу от атома к атому без изменения энергии.

Как видно из рис. 1.1, потенциальная энергия =, где (x, y,z) - радиус-вектор данной точки пространства, - вектор кристаллической решетки. При повышении энергии электрона возрастает вероятность его туннелирования через потенциальный барьер (для туннелирования в квантовой механике не обязательно, чтобы энергия электрона стала больше максимума потенциальной ямы). С другой стороны, даже «свободный» электрон под влиянием потенциального поля может изменить свою траекторию, то есть потерять (рассеять) часть своей кинетической энергии в направлении . Говорят, что такой «квазисвободный» электрон движется в периодическом поле кристаллической решетки.

Каждый энергетический уровень изолированного атома в кристалле расщепляется в зону.

Рис. 1.2. Зонная диаграмма

Энергетические зоны в общем случае разделены запрещенными для электронов энергетическимизазорами (щелями), называемыми запрещенными зонами Eg (g – от gap – промежуток, щель). С ростом энергии (главного квантового числа) ширина энергетических зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

Оценим среднее расстояние между соседними уровнями энергии в разрешенной зоне. Пусть постоянная решетки а=0,4 нм, то есть а3=64·10-24 см3. Количество элементарных ячеек в объеме V=1 см3 равно числу состояний в зоне:. При ширине зоны 1 эВ среднее расстояние между ее уровнями ~ 10-22 эВ, то есть энергетическую зону можно считать квазинепрерывной.

На любом энергетическом уровне в разрешенной зоне в соответствии с принципом Паули могут находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами.

Число квантовых состояний в зоне равно общему числу мест на уровнях изолированных атомов, из которых образовалась эта зона, таким образом, на N уровнях могут находиться не более 2N электронов.

Рассмотрим последнюю полностью или частично заполненную зону, сформированную из валентных электронов и следующую за ней, то есть зону энергий, соответствующую энергиям электронов, разорвавших связь с атомами, но не покинувших кристалл.

В каждой энергетической зоне энергия электрона является функцией его квазиимпульса (волнового вектора): =. На рис.1.3 для двух смежных зон представлены простейшие зависимости E(k), характерные для кубического кристалла. Вблизи экстремумов мы получаем параболическое изменение энергии.

   
Рис. 1.3. Энергетическая диаграмма Упрощенная энергетическая диаграмма

Верхняя зона называется зоной проводимости, поскольку зона имеет множество свободных состояний, попавшие в неё электроны могут перемещаться под действием внешних полей, изменяя свое положение и энергию, т.е. создавая токи проводимости.

Нижняя зона – валентная. Электрон попасть в зону проводимости из валентной зоны может, только преодолев запрещенную зону величиной Eg. Энергетический уровень, соответствующий дну зоны проводимости принято обозначать Ec. Энергетический уровень, соответствующий потолку валентной зоны обозначают Ev.

Таким образом, Eg=Eс–Ev.

В зависимости от положения экстремумов энергетических зон различают прямозонные и непрямозонные полупроводники (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Зонная диаграмма

Ширина запрещенной зоны Eg - одна из важнейших характеристик вещества и может принимать как положительные (для диэлектриков и полупроводников), так и отрицательные значения. В последнем случае дно зоны проводимости будет находиться при энергиях меньших, чем потолок валентной зоны. На рис.1.5 приведена схема энергетических зон для полупроводников, диэлектриков и металлов.

Рис. 1.5.

Полупроводники и диэлектрики отличаются только шириной запрещенной зоны. Так, у диэлектриков ширина запрещенной зоны, как правило, больше 4 эВ. При комнатной температуре тепловой энергии недостаточно для заброса электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для металлов характерно отсутствие запрещенной зоны.

При воздействии на кристалл температуры и давления изменяются расстояния между атомами, области перекрытия волновых функций. Это вызывает изменение ширины энергетических и запрещенных зон.

, (1.17)
 
Рис. 1.6. Температурная зависимость Eg для кремния

Значения близки к единице, - температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны. <0 для большинства полупроводников.

Значения , и для основных полупроводников, применяемых в микроэлектронике приведены в табл. 1.1.

 

 

Таблица 1.1.

Значение Eg и для некоторых полупроводников

Полупроводники Ge Si GaAs
Eg(T=300K), эВ 0,66 1,11 1,43
(T=0K), эВ 0,74 1,166 1,52
, эВ·К-1 -2,4·10-4 -3,9·10-4 -4,3·10-4

Для свободного электрона мы записывали =.Отличие свободного электрона, от электрона, находящегося в кристалле в его эффективной массе, определяемой как:

. (1.21)

Вторая производная характеризует степень крутизны зависимости E(k), чем круче эта зависимость, тем меньше масса электрона. Эффективная масса электрона в кристалле зависит от его энергии и является характеристикой материала.