Движение электрона в кристалле. Уравнение Шрёдингера, волновая функция
Все окружающие нас тела состоят из элементарных частиц (атомов) или из групп определенным образом объединенных атомов (молекул). Любая молекула состоит из совокупности электронов и атомных ядер, движение и взаимное расположение которых определяют значение внутренней энергии молекулы.
В 1924 г. французский физик Луи де Бройль предположил, что любая частица, в том числе и электрон, обладает волновыми свойствами с длиной волны 
, где h = 6,62·10-34 Дж·с=4,5·10-15 эВ·с – постоянная Планка; 
– импульс электрона. Такую волну стали называть волной де Бройля.
Можно ввести понятие волнового числа, то есть числа волн, укладывающихся на 2
см: 
=
, где 
=
= 1,054 10-34 Дж с – приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака.
Тогда можно связать импульс с волновым вектором: 
, что и сделал де Бройль. В этом случае называют квазиимпульсом электрона.
Кинетическая энергия свободного электрона 
=
, где 
=9,1 10-31 кг – масса свободного электрона.
В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел уравнение для волн де Бройля. Волна, связанная с отдельной частицей описывается волновой функцией 
, то есть зависящей от координат и времени.
 Ĥ
| (1.1) |
В левой части – скорость изменения волновой функции, умноженная на мнимую единицу (
) и приведенную постоянную Планка. В правой – оператор Гамильтона Ĥ, действующий на волновую функцию. Оператор полной энергии (гамильтониан) Ĥ получается из выражения
 ,
| (1.2) |
где E – собственная энергия частицы (системы частиц).
Энергия частицы массой имеет две составляющие – кинетическую и потенциальную:
 .
| (1.3) |
Кинетическая энергия 
=
. Если заменить в правой части уравнения величину импульса на так называемый оператор импульса, 
, где 
- оператор Гамильтона или набла- оператор,получим: 
, 
, 
.
Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде:
 ,
| (1.4) |
- уравнение Шредингера для свободной частицы. Здесь 
- оператор Лапласа.
Решение такого уравнения для частицы, движущейся по оси x имеет вид:
 ,
| (1.5) |
т.е. волновые функции свободной частицы есть плоские волны.
В любой момент времени t, состояние квантовой частицы задается двумя величинами: координатами (радиусом-вектором) и импульсом:
 ,
| (1.6) |
Учитывая, что 
=
- энергия свободного электрона, - импульс свободного электрона, можно записать уравнение для волновой функции в следующем виде:
 ,
| (1.7) |
Здесь 
- циклическая частота. Это - комплексная синусоида. Групповая скорость волнового пакета 
.
Если нам известна волновая функция, то из нее можно получить энергию, продифференцировав по времени один раз и квадрат импульса продифференцировав по координате дважды:
 , 
| (1.8) |
В самом деле, из найденных формул выразим 
и E, подставим их в уравнение Шредингера, тогда получим тождество:
 .
| (1.9) |
Но как определить саму волновую функцию? Тем более, что в соответствии с соотношением неопределенностей немецкого физика Вернера Гейзенберга, выведенного им в 1927 г. координату и импульс любой микрочастицы нельзя измерить точно одновременно: 
(для одномерного движения, чем точнее значение координаты, тем менее точно можно измерить значение импульса). Максимум, что можно сделать – это определить три координаты или три компоненты импульса, а затем из уравнения Шрёдингера вычислить волновую функцию в какой угодно последующий момент времени. То есть при решении конкретных задач уравнение Шредингера должно быть дополнено заданием начальных условий: для момента времени t=0, т.е. нужно задать функцию = 
.
Так что такое волновая функция? В 1926 г. немецкий физик Макс Борн предложил, что волновая функция физического смысла не имеет, ноопределяет вероятность пребывания электрона в заданной точке. В тех областях, где амплитуда волны больше, обнаружение электрона более вероятно, то есть ||2 dV – вероятность обнаружить данную частицу в объеме dV.
| (1.10) |
здесь 
- комплексно-сопряженная с функцией .