Быстрое вейвлет-преобразование и алгоритм Малла

Для ортогональных вейвлетов существует быстрое вейвлет-преобразование или алгоритм Малла. Оно реализует основанный на фильтрации итерационный алгоритм, причём число итераций N может быть произвольным.

Классическая схема Малла предполагает рекурсивное применение процедуры реконструкции сигнала в частотной области. Коэффициенты фильтров при этом соответствуют приведённым ниже обозначениям:

 

Таблица 2 – Коэффициенты фильтров.

 

Тип фильтра	НЧ	ВЧ
Декомпозиция	Lo_D	Hi_D
Реконструкция	Lo_R	Hi_R

 

Первый шаг алгоритма Малла поясняется диаграммой вейвлет-декомпозиции сигнала:

→Lo_D→↓2→cA₁ (коэффициенты аппроксимации уровня 1)

s―↕

→Hi_D→↓2→cD₁ (детализирующие коэффициенты уровня 1)

Сигнал s подается на фильтры декомпозиции низких и высоких частот, после чего с помощью операции децимации ↓2 (уменьшения числа частотных составляющих вдвое) можно получить коэффициенты аппроксимации на входе фильтра низких частот и детализирующие коэффициенты на выходе фильтра высоких частот. Далее алгоритм может быть продолжен по схеме:

→Lo_D→↓2→cA_j+1 (коэффициенты аппроксимации уровня j+1)

cA_j―↕

→Hi_D→↓2→cD_j+1 (детализирующие коэфф. уровня j+1)

В результате мы получим полный набор аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов, вплоть до уровня декомпозиции j+1. Это и есть вейвлет-декомпозиция сигнала. По этому набору коэффициентов можно построить вейвлет-спектрограмму сигнала, например для оценки его особенностей.

Переходим к диаграмме быстрой вейвлет-реконструкции. Используя операцию, обратную децимации, ↑2 (увеличение числа вдвое составляющих путем добавления нулевых компонентов вперемежку с имеющимися компонентами), можно получит диаграмму понижения уровня коэффициентов аппроксимации:

cA_j→↓2→Lo_R→

↕→функция wkeep→ cA_j-1

cD_j→↑2→Hi_R→

Это означает постепенное приближение к исходному сигналу. В целом несколько упрощенно (|i| указывает на итерационный характер вычислений), процесс декомпозиции-реконструкции можно представить общей диаграммой вейвлет-преобразований:

→ Lo_D→↓2→cA→→cA→↑2→Lo_R→

s―↕ |i| (+)→se

→Hi_D→↓2→cD→→cD→↑2→Hi_R→

В результате этого процесса исходный сигнал s раскладывается на вейвлет-компоненты вплоть до заданного уровня декомпозиции, после чего в ходе реконструкции, восстанавливается до приближенного сигнала se. Степень приближения зависит от уровня декомпозиции и реконструкции. Нулевой уровень соответствует точному восстановлению сигнала (se = s).