Виды числовых множеств. Окрестность точки.
III. Непрерывность вещественных чисел.
II. Сравнение вещественных чисел.
Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).
Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с.
Отношение > обладает следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа a, b и с:
10) Если а>b и b>с, то а>с.
11) Если а>b, то а+с>b+с.
12) Если а>0 и b>0, то а·b>0.
Вместо а>b пишут также b<a (меньше).
Запись а³b (или, что то же, b£а) обозначает, что либо а=b, либо a>b.
Определение 4: Соотношения а<b, а£b, a>b, a³b называются неравенствами.
Определение 5: Неравенства а<b, a>b называются строгими неравенствами. Неравенства а£b, a³b называются нестрогими неравенствами.
Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а>0, называется положительным, неравенству а<0,— отрицательным, неравенству а≥0,— неотрицательным, неравенству а≤0,— неположительным.
13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство х£у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства
х£с£у.
Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.
Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.
Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.
Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:
| Конечные числовые промежутки | ||||
| 1. | {x| a£x£b}=[a; b] | замкнутый промежуток (интервал) | отрезок | сегмент |
| 2. | {x| a<x£b}=(a; b] | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 3. | {x| a£x<b}=[a; b) | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 4. | {x| a<x<b}=(a; b) | открытый промежуток (интервал) | ||
| Бесконечные числовые промежутки | ||||
| 5. | {x| a£x}=[a; +¥) | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 6. | {x| a<x}=(a; +¥) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 7. | {x| x£b}=(-¥; b] | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 8. | {x| x<b}=(-¥; b) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 9. | {x| -¥<x<+¥}=(-¥; +¥) | множество всех вещественных чисел | числовая прямая | прямая |
Все эти множества называются промежутками (интервалами).
Определение 1: Промежутки [a; b], (a; b], [a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.
Остальные промежутки называются бесконечными.
Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [a; b] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [а, b] такими числами являются соответственно b и а.
Пусть х0 — любое действительное число.
Определение 2: Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0-e; х0+e), где e>0 называется e-окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число e — радиусом.
Если хÎ(х0-e; х0+e), то выполняется неравенство х0-e<х<х0+e, или, что то же, |х-х0|<e.
Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х0 в e-окрестностью точки х0.
Проколотой окрестностью точки х0 называется такая окрестность точки х0, из которой удалена сама точка х0.