Прямая и обратная геодезические задачи

Основные геодезические задачи

 

 

При переходе от измеряемых линейно-угловых величин к координатам точек местности необходимо решить несколько геодезических задач.

Вычисление дирекционных углов направлений. В геодези­ческом роде, представляющем собой построение в виде ломаной 0, 1, 2, ... , n (рис. 23), легко установить связь между измерен­ным углом β, исходным дирекционным углом предыдущего α0 и определяемым дирекционным углом α1 последующего направ­ления, если принять во внимание, что

α₁= α₀ + θ,

θ = 180⁰- β₁= β₁^| - 180°.

Отсюда α₁= α₀ + 180⁰ – β₁;

α₁= α⁰ – 180⁰ + β₁^|

В этих формулах β₁ - правый, β₁^| - левый по ходу углы, если считать, что ход направлен в сторону возрастания номеров вершин. Чаще всего принято измерять правые углы хода.

 

 

 

 

 

 

 

β₁

Рис.23. Зависимость между дирекцион­ными и измеренными углами в геодезиче­ском ходе:

0, 1, 2, …, n - точки хода; ONk 1Nk- направ­ления. параллельные осевому меридиану зоны (среднему меридиану участка); α₀, α₁ - исходный и определяемый дирекционные углы; β₁, β₁^| - измеренные углы.

 

Решение треугольников. Для определения расстояний и уг­лов, которые невозможно или нецелесообразно измерять непосредственно на местности, прибегают к построениям в виде треугольников. В них измеряют не менее трех линейных и угло­вых элементов, по которым, вычисляют остальные. Рассмотрим следующие типичные случаи.

1. Возможно непосредственное измерение базиса АС = b и примыкающих к нему углов α и γ. Тогда находят β = 180° - (α + γ) и по теореме синусов вычисляют а= b sin α /sin β; с= b sin γ /sin β . На практике принято для конт­роля измерять в треугольнике АВС и угол β, а также базис b´ и углы α´, β´,γ´ В треугольнике АВС´, смежном с данным. В стесненных условиях лесной местности допускается опреде­лять недоступное расстояние АВ из решения прямоугольного треугольника. При точке А строят прямой угол, а в точках В и С измеряют острые.

2. Возможно непосредствен­ное измерение сторон a и b и угла γ. Тогда, используя теоремы косинусов и синусов, находят

c² = а² + b²- 2ab cos γ; sin α = а sin γ/с;

sin β=b sin γ/c.

Второй случай особенно характерен для лесной съемки, когда полученные при решении треугольника величины используют чтобы указать направление прорубки просек (визиров) и определить их длину.

В системе плоских прямоугольных координат формулы для геодезических задач основаны на простых геометрических соот­ношениях.

Прямая геодезическая задача.Известны длина dотрезка 1—2(рис.24, а), его дирекционный угол α, координаты х₁ и у₁ точки 1. Требуется вычислить координаты x₂ и у₂ точки 2.

Рис.24. Прямая и обратная геодезические задачи

Сначала вычисляют приращения координат:

Δх = Х₂ – Х₁= d cos α = ± d cos r ;

Δy = Y₂ – Y₁ = d sin α= ± d sin r,

а затем координаты:

Х₂ = Х₁ + Δх = Х₁ + d cos α ;

Y₂ = Y₁ + Δy = Y₁ + d sin α .

Знаки приращений координат Δх, Δу зависит от направления отрезка 1—2 (рис. 24, б) и определяется знаками cos α и sin α или по румбу r_1-2.

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х₁, у₁ и x₂, у₂ отрезка 1—2 (см. рис. 24, а) вычисляют его длину d, румб r_1-2 и дирекционный угол α. Вначале находят румб направления 1—2 по значению его тангенса:

tg r_1-2 = Δy/Δx = (у₂ - у₁)/ (x₂ - х₁)

Затем по знакам разностей уг — у\ и д& — Х\ определяют чет­верть и наименование румба, а также дирекционный угол α_1-2. Длину отрезка 1 — 2 вычисляют для контроля по двум из трех следующих формул (без учета знака приращений Δх и Δу):

d = (x₂ - х₁)/cos α; d = (у₂ - у₁)/ sin α; d =√Δx² +Δy².

 

Тахеометрический ход. Для обеспечения топогра­фических съемок с сечением рельефа более 1 м высоты точек теодо­литного хода могут определяться тригонометрическим нивелиро­ванием в прямом и обратном направлениях, при этом длина каждого хода должна быть не более 2 км.

Вертикальные углы на станции измеряют обычно одновременно с измерением горизонтальных углов. Каждый вертикальный угол определяют одним полным приемом (при двух положениях трубы: КП и КЛ). Колебание места нуля на станции не должно превышать 1ʹ. Высоту прибора i и точки наведения I измеряют с точностью до 1 см. Превышение вычисляют по полной формуле тригонометрического нивелирования:

.

Если визировать на метку, прикрепленную к рейке на высоте прибора ( ), получим сокращенную формулу тригонометрического нивелирования:

.

Расхождения между прямыми и обратными превышениями для одной и той же линии не должны быть больше м, где S — средняя длина ли­нии, выраженная в сотнях метров; — число измеренных превы­шений (линий) в ходе или полигоне

Горизонтальное проложение длины линии определяют по формуле:

.

Тригонометрическое нивелирование пунк­тов съемочного обоснования. Определение высот пунктов микротриангуляции производится в том же порядке, как и пунктов теодолитного хода.

В горных районах высоты пунктов опорных геодезических сетей (съемочного обоснования) разрешается определять тригонометри­ческим нивелированием; измерять вертикальные углы теодоли­том Т2 (или другим равноценным ему прибором) одним приемом по трем нитям. Колебание места нуля на станции не должно пре­вышать 20". Расхождение между прямыми и обратными превыше­ниями, а также невязки по высоте в ходах не должны превышать 10 см на каждый километр хода.