Предикатные формулы

Простейшие конструкции языка предикатов

Терм - это знак (символ) или комбинация знаков (символов), являющая­ся наименьшим значимым элементом языка.

К термам относятся:

- константы,

- переменные,

- функции.

Константа применяется для обозначения конкретных объектов реаль­ного мира.

Пример: ласточка, птица, один, 2 и т.д.

Переменные используются для обозначения некоторого из возможных объектов реального мира или их совокупности.

Пример: Некто, X, Who, Вещь и т.д.

Функции (структуры) - последовательность из нескольких констант или переменных, заключенных в круглые скобки, следующие за функциональ­ным символом (функтором). Пример: сумма (1,2); +(1,2); удвоить (X).

Функторы обозначают операторы, которые после воздействия на объ­ект возвращают некоторое значение.

Предикат - это логическая функция, которая выражает отношение ме­жду своими аргументами и принимает значение «истина», если это отношение имеется, или «ложь», если оно отсутствует.

п-местный (или п-арный) предикат - заключенная в скобки последовательность из n термов, перед которой стоит предикатный символ.

п-местный предикат принимает значения «истина» или «ложь» в соответствии со значени­ем термов, являющимися его аргументами.

Пример:

является (ласточка, птица)

отец (X, Джон)

Предикаты такого типа – атомарные. Соответствуют наиболее простым предложениям разговорного языка -нераспространенным предложениям.

Из нераспространенных предложений строят более слож­ные конструкции - сложные предложения (с помощью со­единительных местоимений, союзов, и др. частей речи).

В логике предикатов сложным предложениям естественного языка соответствуют предикатные формулы.

Предикатные формулы образуются из атомарных предикатов и логических связок

Т.е. логика высказываний ре­шает вопросы типа:

«Можно ли на основе высказывания А полу­чить высказывание В?»;

«Истинно ли В при истинности А?» и т.п.

Элемен­тарные высказывания рассматриваются как переменные логиче­ского типа, над которыми разрешены логические операции (связки).

Логические связки:

¬ - отрицание (логическое НЕ) - унарная операция;

^ - конъюнкция (логическое умножение, логическое ИЛИ);

v - дизъюнкция (логическое сложение, логическое И);

→ - импликация (если — то);

« - эквивалентность (тогда и только).

Конъюнкцией n переменных называется функция, которая принимает значение 1, если и только если все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Дизъюнкцией n переменных называется такая функция, которая равна 0 если и только если все переменные равны 0 (и, значит, равна 1 тогда и только тогда, когда хотя бы одна переменная равна 1).

Операция импликации должна удовлетворять следующим требованиям.

1. Значение результата импликации зависит от двух опе­рандов.

2. Если первый операнд (А) — истинный, то значение резуль­тата совпадает со значением второго операнда (В).

3. Результат импликации совпадает с результатом выражения: ¬ А v В.

Результаты вычисления логических операций

А	¬ А	В	А^В	AvB	А→В	А«В
Т	F	Т	Т	Т	Т	Т
Т	F	F	F	Т	F	F
F	Т	Т	F	Т	Т	F
F	Т	F	F	F	Т	Т

 

Приоритет использования логических связок:

1)¬

2) ^ v

3) → «

Пример предикатной формулы, соответствующей сложному предложению:

является (ласточка, птица)

→ имеет (ласточка, крылья)v