Введение

Физическое моделирование явлений

Теория подобия механических систем возникла из практического вопроса о сравнении работы двух геометрически подобных систем. Теорию подобия изучал ещё Г. Галилей. Он в своих знаменитых “Discorsi” [3] писал о том, что часто модель машины работает иначе, чем оригинал, и объяснял это различием возникающих во время движения сопротивлений. Большой вклад в теорию подобия внёс И. Ньютон [9], который в своих “Математических принципах натуральной философии” доказал основную теорему о механическом подобии и на её основе вывел закон сопротивления жидкости движущимся в ней телам. Дальнейшее развитие теория подобия и размерности получила в трудах Н.Е. Кочина [4], Л.И. Седого [10] и других исследователей. Особенно большое значение вопросы подобия явлений приобретают в экспериментальных исследованиях. Потребность в эксперименте возникает в следующих случаях.

1. Экспериментальное изучение явлений. Физический опыт выявляет сущность того или иного явления. Кроме того, как говорил великий экспериментатор П.Л. Капица, как бы красиво теория ни выглядела, но правильно поставленный эксперимент вечен. К эксперименту нужно прибегать и в тех случаях, когда теория для изучаемого явления не разработана.

2. Экспериментальная проверка теоретических данных. При создании теоретических методов необходимо учитывать следующие обстоятельства. Любое изучаемое явление – бесконечно сложное в том смысле, что количество факторов, влияющих на данное явление, всегда бесконечно велико. Все эти факторы учесть невозможно, поэтому на первом этапе теоретических исследований приходится отделять те факторы, которые, по мнению исследователя, более существенны, от менее существенных. Дальнейшие исследования проводятся над так называемым идеализированным явлением, для которого количество факторов, влияющих на него, конечно. Для полученного явления строят математическую модель и решают задачу. В силу этого абсолютного совпадения результатов теории и данных опыта получить невозможно. Следует отметить, что такая ситуация возникает не от недостаточности сегодняшних знаний, а так будет всегда, при любом уровне развития общества. Таким образом, любая теория, любая математическая модель должны быть проверены опытом. Если совпадение теоретических данных с результатами опыта удовлетворяет потребностям практики, то такая теория считается пригодной. Когда расхождение теоретических результатов с опытом перестаёт удовлетворять требованиям, предъявляемым практикой, следует создавать другую математическую модель. Описанная схема теоретического решения задач приводит к тому, что наше познание окружающей действительности осуществляется прорывами от одной удачной математической модели к другой. Так, например, наше познание Вселенной развивалось от модели Птоломея к Ньютону и Эйнштейну, а в настоящее время и теория относительности Эйнштейна не даёт исчерпывающих ответов на все вопросы, интересующие Человечество.

3. Предварительное изучение явления перед созданием математической модели. Перед выполнением описанного в п. 2 разделения факторов, влияющих на изучаемое явление, на несущественные и более существенные необходимо провести предварительные эксперименты.

Среди всех видов эксперимента наиболее надёжные результаты дают испытания в натурных условиях. Но их проводить не всегда возможно. Так, при проектировании нового летательного аппарата сам летательный аппарат ещё отсутствует. Кроме того, на первых этапах проектирования исследуют отдельные части проектируемого аппарата, которые в условиях натурного эксперимента испытаны быть не могут. Имеется возможность проводить эксперимент с помощью других летательных аппаратов, которые используются как носители, но такие исследования очень трудоёмки и требуют больших временных ресурсов. Поэтому в большинстве случаев исследования проводят посредством так называемого моделирования явлений. В настоящее время применяется моделирование двух типов – физическое моделирование и моделирование аналогиями.

Моделирование аналогиями основано на следующих обстоятельствах. Решить задачу в аэрогидродинамике означает, что необходимо в каждой точке пространства определить все параметры движущейся жидкости (скорость, давление, плотность, температуру и др.). При движении воздуха, как и любой другой сплошной среды, искомые параметры – функции трёх координат и времени. Поэтому дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют искомые параметры, – уравнения в частных производных или, как их ещё называют, уравнения математической физики. Для идеальной (невязкой) среды эти уравнения – линейные уравнения второго порядка. Линейные уравнения второго порядка подразделяют на эллиптические, параболические и гиперболические. Различных явлений природы, описываемых указанными уравнениями, насчитывается большое количество. К примеру, эллиптическими уравнениями кроме движения идеальной жидкости описываются электрические и магнитные поля, напряжённое состояние тонкой мембраны и многие другие явления.

Для решения задач аэрогидродинамики применяются следующие виды аналогии:

1. Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), основанная на формальной аналогии уравнений движения электрического тока и уравне­ний потенциального движения несжимаемой жидкости. На основе этой аналогии создают электрическую модель, на которой выполняют все необходимые измерения, а затем результаты используют при определении характеристик потока жидкости. Наиболее часто в аналогии ЭГДА проводят моделирование с помощью специальной электропроводной бумаги. В этом случае моделируют плоское движение жидкости.

2. Магнитогазодинамическая аналогия (МАГА) базируется на том, что интенсивность силовых линий магнитного поля имеет потенциал, который так же, как и потенциал скорости безвихревого несжимаемого потока жидкости, удовлетворяет уравнению Лапласа.

3. Газогидравлическая аналогия (ГГА) основана на аналогии между уравнениями движения невязкой несжимаемой жидкости в открытом канале и уравнениями плоского потенциального движения газа. Наиболее часто применяется один из вариантов метода ГГА, при котором исследуются стационарные потоки газа и используются специальные установки для их моделирования – гидравлические лотки.

Гидравлический лоток представляет собой водоём с твёрдым дном, в котором создаётся течение слоя воды ограниченной глубины с постоянной скоростью и исследуется обтекание моделей, не полностью погруженных в поток.

Методы ЭГДА и МАГА применяют для исследования пло­ских потоков жидкости и газа с дозвуковыми скоростями. Кроме того, методом ЭГДА можно исследовать и трехмерное движение несжимаемой жидкости.

С помощью метода ГГА исследуют как дозвуковые, так и плоские сверхзву­ковые течения газа. Кроме того, метод ГГА можно использовать для решения некоторых задач гидравлики ме­тодами газовой динамики.

Все три метода аналогий позволяют моделировать лишь потенциальное движение несжимаемой жидкости или газа. Таким образом, явления, связанные с вязкостью жидкости, этими методами не моделируются.

Преимущества методов аналогий – про­стота и дешевизна установок. Метод ЭГДА позволяет на листе электропроводной бумаги изображать линии тока изучаемого течения, а также строить эквипотенциальные линии течения. Метод ГГА также дает наглядную картину обтекания тела.

При физическом моделировании сохраняется физическая природа исследуемого явления. Физическое моделирование – это замена изучения явления в натуре исследованием аналогич­ного явления на модели меньшего или большего масштаба обычно в лабораторных условиях. При этом основной смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам опытов с моделью можно было судить о качественной и ко­личественной сторонах явления в натурных условиях. Физи­ческое моделирование основано на рассмотрении физически подобных явлений, т. е. изучение натурного явления заменя­ется изучением легче осуществимого физически подобного явления.

Ответ на вопрос о том, как моделировать явления, дает теория размерности и подобия [10].