Теорема о трех непараллельных силах.

Для плоской системы сходящихся сил достаточно будет двух уравнений.

Геометрически условие равновесия означает, что силовой многоугольник будет замкнут, т. е. при построении силового многоугольника конец последнего вектора совпадает с началом первого вектора.

Аналитически для равновесия системы сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы проекции всех сил системы на соот­ветствующие координаты оси равнялись нулю:

 

 

 

Если твердое тело под действием трех непараллельных сил, две из которых пересекаются, находится в равновесии, то ли­нии их действия пересекаются в одной точке.

Задача 1.На середину балки АВ действует сила (рис. 16). В точке А балка имеет шарнирно-неподвижную опору, а в точке В — шарнирно-подвижную. Определить линию действия реакции в точ­ке А.

 

 

Рис. 16

 

Решение. Реакция шарнирно-неподвижной опоры пер­пендикулярна опорной поверх­ности и пересекается с линией действия силы Р в точке С. По теореме о трех непараллельных силах реакция опоры А должна пройти через эту точку:

 

.

 

Ответ. Реакция образует- угол 30° с осью балки АВ.

 

Задача 2.Два невесомых стержня, соединенные в точке С шарниром, удерживают груз Р = 50 Н, который нитью прикреплен к шарни­ру С. Найти усилия в стержнях АС и ВС, если = 60°.

Рис.17

Решение. Используя принцип освобождаемости от связей, заменяем действие стержней АС, ВС. и нити на шарнир С реакциями , , . Учтем, что Т= Р= 50 Н Реакции показаны на рис. 17. Считаем стерж­ни растянутыми и не делаем допол­нительный рисунок. Запишем урав­нения равновесия, учитывая, что конструкция находится в плоскости СХУ. Направления осей показаны на рисунке.

 

1.

2. .

Находим из (2)

,

из (1)

.

 

Отрицательное значение указывает, что стержень ВС сжат, а не растянут, как предполагалось.

 

 

 

Задача 3. Груз весом G = 2 кН (рис. 1) удерживается краном, состоящим из двух невесомых стержней в шарнирах АВ и АС, прикрепленных к вертикальной стене и составляю­щих с ней углы α₁ = 60° и α₂ = 40°. В точке А подвешен блок, через который перекинут грузовой трос, идущий к блоку в точке D и составляющий со стеной угол α₃ = 60°.

Весом троса и блока, а также размерами блока можно пренебречь. Определить усилия в стержнях.

Решение. Рассмотрим находящийся в равновесии груз (рис. 2).

На него действуют две силы: сила тяжести G и сила натяжения троса N₁. Поскольку система сил уравнове­шена, можно сделать очевидный вывод: сила натяжения троса направлена внутрь троса и по модулю равна весу груза N₁ = G.

Если для любого блока (рис. 3) пренебречь трением на его оси, то силы натяжения ветвей его троса одинаковы N₁ = N₂ (что легко видеть из уравнения моментов относи­тельно центра блока).

 

 

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

 

Теперь в качестве объекта равновесия можно рассмот­реть мысленно вырезанный узел в точке А (или, что то же самое, блок с прилежащей к нему частью троса). На этот узел будут действовать силы натяжения ветвей троса N₁ и N₂ и реакции R₁ и R₂ стержней АВ и АС (рис. 4).

Реакции опорных стержней направлены, как извест­но, вдоль этих стержней. Направим их внутрь стержней, считая изначально стержни растянутыми.

Составим теперь уравнения равновесия как уравне­ния проекций сил на оси (для системы сходящихся сил), учитывая, что силы R₁, R₂ и N₂ составляют углы α₁, α₂ и α₃ с осью у.

 

Отсюда, учитывая, что , получаем

 

 

Решая эту систему уравнений, находим R₁ = 0,611 кН, R₂ = –3,52 кН. Знак «минус» у величины реакции R₂ озна­чает, что она имеет направление, противоположное при­нятому, то есть стержень АС не растянут, а сжат.

Ответ: R₁ = 0,611 кН, R₂ = –3,52 кН.

 

 

Задача 4. На невесомую балку, закрепленную с помощью не­подвижного шарнира в точке А и троса в точке В, действу­ет сила F, модуль которой F = 5 кН (рис. 5). Учитывая указанные на рисунке геометриче­ские размеры, определить реакции опор балки.

 

Рис. 5

 

Решение. Рассмотрим балку, воспользуемся принципом освобож­даемости от связей, отбросим их и введем соответствующие реакции. Реакция троса в точке В, как известно, направлена по тросу, а реакция шарнирно-неподвижной опоры имеет не­известное направление.

 

Рис. 6 Рис. 7

 

Однако в данном случае определить ее направление позволяет теорема о трех силах, согласно которой линии действия трех непараллельных сил, под действием кото­рых тело находится в равновесии, должны пересекаться в одной точке. В рассматриваемой схеме это будет точка О пересечения линий действия силы F и линии троса (рис. 6).

Таким образом, реакция в точке А проходит по линии АО под углом β, величину которого найдем из треугольни­ка: tg β = 1/3 и β = arctg 1/3.

Для определения величин реакций могут быть приме­нены три способа: графический, графоаналитический и аналитический.

1. Графический способ. Следует построить в масштабе замкнутый силовой многоугольник, начиная с известной силы F, а затем в произвольной последовательности ос­тальные силы R_A и R_B.

Например, можно провести из конца силы F линию действия реакции R_B, а из ее начала — линию действия R_A до их пересечения. Силы должны быть направлены в одну сторону по пути обхода контура (рис. 7).

Затем, измеряя отрезки и сравнивая их с масштабом, можно узнать величины неизвестных сил.

2. Графоаналитический способ. Здесь также строится силовой многоугольник, но только в виде геометрической схемы, рассматривая которую можно вычислить неизвестные стороны треугольника.

Для схемы (рис. 7) согласно теореме синусов получаем

 

 

где γ = 180°– 45° – (90° + β) = 45°– β.

Из этих уравнений имеем

 

 

3. Аналитический способ. Здесь не требуется построе­ния силового многоугольника, необходима лишь расчет­ная схема с направлениями реакций (рис. 8). При этом не по линии действия направлять не­известные силы.

 

Рис. 8

 

Выбирая координатные оси х и у, записываем уравнения рав­новесия в проекциях на эти оси:

 

 

Решая эту систему уравнений, получаем

 

 

Отрицательный знак у величины R_A означает, что дей­ствительное направление этой реакции противоположно выбранному на схеме.

Ответ: R_A = –7,9 кН; R_B = 10,6 кН.

 

Задача 5. Подвеска идеального блока О лебедки состоит из трех невесомых стержней в шарнирах: двух горизонтальных АО и ВО, составляющих углы 45° с перпендикуляром к стене DO, и стержня СО, составляющего угол 60° с вертикальной линией стены DE (рис. 9).

Через блок перекинут трос, на од­ном конце которого подвешен непо­движный груз весом G = 10 кН. Дру­гой конец, уходящий на лебедку, в точке Е стены составляет угол 30° с вертикалью DE. Определить усилия в стержнях подвески.

Решение. В качестве объекта, равновесие которого следует рассмот­реть, выберем блок вместе с прилега­ющей к нему частью троса (узел в точке О).

Рис. 9

 

При условии, что размерами его можно пренебречь, действующие на него силы представляют собой си­стему сходящихся сил. Учитывая, что реакции опорных стержней на­правлены по линиям этих стержней, а силы натяжения — по тросу, полу­чаем расчетную схему (рис. 10).

 

Рис. 10

 

Здесь G₁ = G — сила натяжения ветви троса, идущей к лебедке в точке Е; направления реакций стержней выбраны в предпо­ложении, что стержни АО и ВО растянуты, а стержень СО — сжат.

Для удобства геометрического рассмотрения начало координат взято в точке D, ось х направлена по линии АВ, ось у — по DO, ось z — по DE.

Записываем теперь условие уравновешенности систе­мы сходящихся сил.

в проекциях на декартовы оси:

 

х: R_Asin 45° – R_Bsin 45° = 0;

у: – R_A cos 45° – R_Bcos 45° + R_С sin 60° – Gsin 30° = 0;

z: R_Сcos60^о – G₁cos30° – G = 0.

 

Решая эту систему, находим значения усилий в стерж­нях подвески:

 

R_С = 37,3 кН; R_A = R_B = 19,3 кН.

 

Все усилия получились положительными, значит их направления были изначально взяты правильно.

Можно отметить при этом, что усилия в стержнях под­вески оказались значительно большими, чем вес удержи­ваемого ими груза, и существенно зависят от геометриче­ских параметров (углов) самой конструкции подвески.

Ответ: R_С = 37,3 кН; R_A = R_B = 19,3 кН.