Пространство элементарных исходов

Эксперимент, элементарный исход эксперимента,

ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Всякая современная математическая теория строится по одному образцу: вначале задаются некоторое множество и система аксиом, определяются связи между элементами и подмножествами этого множества. Теория вероятностей не является исключением, она строится как абстрактная математическая дисциплина. Вместе с тем у теории вероятностей есть много приложений, обращенных во внешний мир, например, теория массового обслуживания, теория надежности, прикладная статистика. Оказывается, что с ее помощью можно успешно описывать, изучать, прогнозировать многие реальные случайные явления.

Однако любой, даже вводный курс теории вероятностей, если он претендует на корректность изложения, должен содержать ее аксиоматическое представление. Наша ближайшая цель – описание того исходного множества, которое кладетсяв основу любой математической структуры.Втеории вероятностей это множество называется пространством элементарных исходов.

 

Под экспериментом понимается некое действие, которое может быть многократно повтореноводних и тех же условиях. Например, бросание монеты или кубика. Конечно,вреальном мире нельзя дважды бросить кубикводних и тех же условиях. Хотя бы потому, что за время бросания Земля поворачивается вокруг своей оси, вокруг Солнца, вместе с Солнцем вокруг центра Галактики, условия разные! Но такие соображения игнорируются и постулируется возможность сохранения одних и тех же условий.

В зависимости от нужд эксперимента экспериментатор выделяет возможные исходы эксперимента. Они называются элементарными исходами, если взаимно исключают друг друга ивсовокупности охватывают все возможные случаи. Например,вслучае бросания кубика можно выделить два элементарных исхода – четно или нечетно выпавшее число очков,аможно шесть – какое именно число (от 1 до 6) выпало на верхней грани;авот такие исходы: выпало четное число очков; выпало число очков, делящееся на три; выпало число очков, не делящееся ни на два, ни на три, не являются элементарными: шесть делится и на два, и на три, поэтому первые два исхода не исключают друг друга.

Элементарные исходы бывают равновозможными (по-другому говорят: у всех у них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными впротивном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика одинаковые шансы выпастьвсравнении с другими.

А вот пример неравновозможных исходов: у наудачу выбранного человека спрашивают,ввисокосном или не високосном году он родился. Ясно, что два элементарных исхода этого эксперимента неравновозможны. Исход «год рождения високосный» имеет примерновтри раза меньше шансов, чем исход «год рождения невисокосный».

Пространством элементарных исходов (обозначается буквой W) называется произвольное множество, элементам которого поставлены во взаимно однозначное соответствие элементарные исходы данного эксперимента. Приведем три примера пространств элементарных исходов.

Пример 1. Бросается кубик, элементарный исход – число выпавших очков. Множество W состоит из шести элементов; обозначим их натуральными числами от единицы до шести, W = {1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6}.

Пример 2. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет одно очко. Здесь элементарный исход – число бросаний кубика до первой единицы. Элементарных исходов бесконечно много, W – это множество натуральных чисел, W = {1, 2, ...}. Элементарные исходы неравновозможны.

Пример 3. Два человека договорились встретитьсявопределенный деньвопределенном месте. Каждый из них может прийти к месту встречивлюбой момент времени между 12 и 13 часами. Здесь элементарный исход удобно описать парой чисел (х, у), где х – время прихода к месту встречи первого человека, у – второго. Элементарных исходов бесконечно много, но перечислить их через запятую, каквпримере 2, уже нельзя. W = = {(х, у), 12 £ х, у £ 13} – так можно описать множество W.