Методы расчета размерных цепей на максимум-минимум

 

При работе по принципу полной взаимозаменяемости произ­водится расчет размерных цепей на максимум-минимум, учитываю­щий только предельные отклонения звеньев исамые неблагоприят­ные их сочетания. Расчет на максимум-минимум начинается с построения размерной цепи,определяющей размерные связи рас­сматриваемого сборочного соединения.

 

При решении задачи используется уравнение размерной цени, выражающее зависимость номинального размера замыкающегозвена от номинальных размеров составляющих звеньев в виде:

или в общем виде для любого числа звеньев линейной размерной цепи:

 

где m - общее количество звеньев цепи, включая замыкаю­щее звено;

n - количество увеличивающих звеньев.

Тогда можно записать:

где - увеличивающий размер составляющего звена;

- уменьшающий размер составляющего звена.

Наибольший предельный размер замыкающего звена линей­ной размерной цепи:

Наименьший предельный размер замыкающего звена:

Разность наибольшего и наименьшего предельных размеров замы­кающего звена определяет величину его допуска, который выражается в виде:

При замене выражений, находящихся в скобках, соответствую­щими допусками получается формула для определения допуска замыкающего звена линейной размерной цепи.

Верхнее предельное отклонение замыкающего звена и нижнее предельное отклонение линейной размерной цепи могут быть определены по формулам, приведенным ниже, которые получаются после вычитания номинального размера замыкающего звена из его наибольшего и наименьшего предельных отклонений:

Предельные отклонения и размера замыкаю­щего звена могут быть определены и по значениям координаты середины поля допуска

Координатой середины поля допуска -го звена называется расстояние середины поля допуска размера этого звена до его номинального значения.

Тогда предельные отклонения:

Координата середины поля допуска или середины поля рас­сеяния размера замыкающего звена линейной размерной цепи определяется формулой

 

Зная эти уравнения, можно производить пробные расчеты до­пусков размеров составляющих звеньев по величине допуска размера замыкающего звена.

Основными достоинствами метода расчета на максимум-минимум, обеспечивающего полную взаимозаменяемость деталей и сборочных единиц, являются:

а) простота, высокая производительность иэкономичность сборки изделий, сводящейсяв этом случае только к соединению и фиксации отдельных деталей и не требующей высокой квалифи­кации рабочих;

б) простота нормирования сборочных операций, ихсинхро­низации во времени и организации поточной сборки;

в) возможность специализации икооперирования предприя­тий по выпуску деталей и сборочныхединиц;

г) сокращение простоев машин при их ремонте и упрощение ремонта в связи с возможностью быстрой замены изношенных де­талей новыми без пригонки к регулирования.

Крупнейшимнедостатком метода расчета на максимум-минимум является необходимость ужесточения допусков состав­ляющих звеньев пропорционально их количеству, в соответствии с формулой:

где - величина среднего допуска.

При большом числе звеньев допуски составляющих размеров полу­чаются чрезвычайно жесткими и во многих случаяхэкономически невыполнимы. В этом случае сочетание при сборке всех увели­чивающих размеров с верхними предельными отклонениямис уменьшающими размерами, изготовленными с нижнимипредельными отклонениями (и наоборот), маловероятно, а при значительном числе составляющих звеньев - практически невозможно.

По расчетам проф. Н.А. Бородачева,при равной вероятности получения составляющих звеньев с размерами, соответствующими любым точкам полей их допусков, вероятность наихудших соче­таний размеров у десятизвенной цепи составляет: 0,0000000000002. Это значит, что если предприятие ежедневно выпускает по 1 млн. комплектов, то крайние сочетания размеров, рассчитанных по максимуму и минимуму, будут встречаться в среднем один раз в 10.000-15.000 лет. В связи с этим расчет да максимум и минимум должен применяться лишь для коротких размерных цепей, имеющих два - три составляющих звена.

 

4.3_. Вероятностный метод (неполной взаимозаменяемости)

 

При расчете размерных цепей с числом составляющих звеньев более трех целесообразно принять в основу достижения точности метод неполной взаимозаменяемости с использованием вероят­ностного расчета.

При использований метода неполной взаимозаменяемостн требуемая точность обеспечивается у заранее обусловленной части объектов путем включения в размерную цепь составляющих звеньев без их выбора, подбора или изменения значений.

Расчет вероятностным методом, осуществляемый в этом случае, производится с учетомфактического распределения истинных размеров внутри полей, их допусков и вероятности их различных сочетаний при сборке имеханической обработке.

Рассмотрим расчет поля рассеяния (допуска) замыкающего звена вероятностным методом. В соответствии с положениями теориивероятностей суммирование случайных величин произво­дится квадратически, причем сумма этих величин, в свою очередь, представляет собой случайную величину, изменяющуюся по определенному закону распределения. При этом законраспре­деления размеров замыкающего звена тем ближе к законунормального распределения, чем больше составляющих звеньев имеет размерная цепь_.

Наименьшее количество составляющих звеньев (m-1), вкотором происходит распределение размеров замыкающего вена по закону нормального распределения, составляет при распределении составляющих размеров цепи по законам:

- равной вероятности (m-1) =4

- равнобедренного треугольника (закону Симпсона) (m-1) =3;

- нормального распределения (m-1) = 2.

В практических условиях (особенно при проектных расчетах)

 

законы распределения составляющих звеньев часто неизвестны, поэтому применение вероятностного метода расчета считается правильным при числе составляющих звеньев размерной цепи

С учетом сказанного, поле рассеяния замыкающего звена или его допуск определяется по формуле:

где - коэффициент риска, характеризующий вероятность выхода отклонений замыкающего звена за пределы допуска (нормированный параметр распределения). В этой формуле при­нято, что поля рассеяния размеров составляющих звеньев равны допускам на их изготовление.

Несмотря на то, что ветви кривой нормального распреде­ления уходят в бесконечность, при практических расчетах поле рассеяния ограничивается некоторыми пределам, зависящими от величины среднего квадратического равными т.е.

- среднее арифметическое значение случайной величины;

- поле рассеяния случайной величины;

- нормированный параметрраспределения,

или коэффициент риска.

Графически сказанное выглядит так:

Вероятностный расчет размерных цепей обычно произво­дится в случаях, когда число их составляющих звеньев

, т.е. когда распределение размеров замыкающего звена подчиняется закону нормального распределения незави­симо от законов распределения составляющих звеньев. При этом принимается , когда процент риска выхода за пределы допуска составляет 0,27 %_. Практически в этом случае коли­чество сборочных соединений или деталей, выходящих за пределы допуска, не превышает 3 шт. на 1000 шт. изделий.

Относительное среднее квадратическое отклонение, харак­теризующее закон рассеяния размеров составляющих размеров ели отклонений, определяется по формуле:

 

Величина коэффициента составляет

- для закона нормального распределения .........1/9

-"- Симпсона........................1/6

-"- равной вероятности............... .1/3

При вычислении предельных значений замыкающего звена вероятностным методом имеет значение симметричность располо­жения размеров составляющих звеньев внутри их полей рассеяния (или внутриполей их допусков).

При симметричном расположении размеров составляющих звень­ев - координата середины паяя рассеяния замыкающего звена и координата середины поля допуска опреде­ляются по формуле (4.10). Затем рассчитываются значения пре­дельных отклонений замыкающего звена

 

При несимметричном расположении размеров составляющих звеньев центры их группирования и середины полей допусков не совпадают друг с другом.

Координата центра группирования (математи­ческое ожидание отклонений) составляющего звена линейной размерной цепи определяется формулами:

где значения находятся в пределах 0 до + 0,5 и опреде­ляются опытным путем.

Сопоставление результатов расчетов показывает, что поле рассеяния (допуск) замыкающего звена, вычисленное вероятност­ным методом, в 0,75/0,477 = 1,57 раза меньше поля рассеяния (допуска), рассчитанного на максимум и минимум. Соответ­ственно изменяются и предельные отклонения размеров замыкаю­щего звена.

 

Расчет допусков составляющих звеньев

Допуски размеров составляющих звеньев при расчете раз­мерных цепей вероятностным методом определяются принципиально так же, как и при их расчете на максимум и минимум. Различия сводятся в основном к замене арифметического суммирования геометрическим.

Расчет начинается с определения величины среднего до­пуска составляющих звеньев. При этом используется следующая формула

Если по результатам расчета средняя точность размеров состав­ляющих звеньев соответствует 11-му или 12-му квалитету, то метод неполной взаимозаменяемости считается подходящим для решения данной размерной цепи, и определенный в результате расчета квалитет принимается в основу для установления допусков размеров всех составляющих звеньев, кроме регулирую­щего.

Если по расчетам требуемая средняя точность размеров составляющих звеньев характеризуется 7-9-м квалитетами, то достижение требуемой точности замыкающего звена методом не­полной взаимозаменяемости является невозможным, что делает необходимым использование метода регулирования, или пригонки.

При установлении расчетом необходимости обеспечения точности

размеров составляющих звеньев в пределах 10-го квалитета вопрос о возможности ее достижения должен решаться путем дополни­тельного анализа технологических особенностей изготовления деталей, входящих в данную размерную цепь.

В качестве регулирующего звена рекомендуется выбирать звено с наибольшим номинальным размером, выполнение и измерение которого не вызывает технологических трудностей.

На все размеры рассчитываемой цепи назначаются допуски по h и Н установленного квалитета точности.

При необходимости производят выбор и расчет допуска регу­лирующего звена по формуле

где - коэффициент относительного рассеяния размера регулирующего звена.

Координата середины поля допуска размера регулирующего звена определяется по следующим формулам: - при увеличивающем регулирующем звене

 

при уменьшающем регулирующем звене

Предельные отклонения размера регулирующего звена нахо­дятся так же, как ипри расчете на максимум-минимум.

Сопоставления методов показывает, что применения вероят­ностного метода расчета позволяет существенно расширить допуски на обработку заготовок по сравнению с допусками, устанавливаемыми расчетом на максимум-минимум.