Ковариация и корреляция

 

Выборочной ковариацией двух переменных х, у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т. е.

или

где , — выборочные средние переменных х, у.

Ковариацию можно вычислить с помощью функции Excel КОВАР(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Пусть данные наблюдений переменных х, у представлены в виде точечного графика – диаграммы рассеяния наблюдений

Точка на диаграмме является центром рассеяния переменных х, у.

Вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через точку , разделяют диаграмму рассеяния на четыре области.

Наблюдения в областях I, III дают положительный вклад в ковариацию, а в областях II, IV — отрицательный.

Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, в противном случае она будет отрицательной. Положительной ковариации отвечает положительная связь, а отрицательной — отрицательная.

При положительной (прямой) связи с увеличением одной переменной другая переменная в среднем также увеличивается, и наоборот при отрицательной (обратной) связи.

Заметим, что

Свойства ковариации:

1) ;

2) , где а – константа;

3) , где а – константа;

4)

Пусть выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности и отражает ее свойства.

Если случайные величины X, У независимы, то ковариация равна нулюи выборочные точки на диаграмме рассеяния наблюдений можно заключить в окружность с центром в точке .

Если X, У зависимы, то ковариация отлична от нуляи выборочные точки можно заключить в эллипс с центром в точке , при этом положение большей полуоси эллипса будет указывать направление связи (положительная или отрицательная).

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляцииопределяется выражением

,

он является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных.

Коэффициент корреляции можно вычислить с помощью функции Excel КОРРЕЛ(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

Свойства коэффициента корреляции:

1) ;

2) ;

3) если , то X и Y точно связаны линейной функциональной зависимостью;

4) если , то между X и Y нет линейной корреляционной зависимости, но это не исключает существования другого вида зависимости;

5) если , то имеет место прямая корреляционная зависимость;

6) если , то имеет место обратная корреляционная зависимость.

 

На рисунках отражен геометрический смысл коэффициента корреляции. На рисунках а и б случайные величины X, У коррелированы (r > 0 или r < 0), на рисунках в и г — некоррелированы (r = 0). Если r = 0, случайные величины могут быть как зависимыми (см. рис. в), так и независимыми(см. рис. г).

Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной.

Проверка гипотезы о корреляции случайных величин. Пусть по данным выборки объема п получен выборочный коэффициент корреляции r ¹ 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции r, т.е,

Статистика определяется по формуле

.

Граничная точка определяется с помощью функции пакета Exel: СТЬЮДРАСПОБР(1− p; n−2).