Двойственные аксиомы и теоремы алгебры логики.

Свойство дистрибутивности.

Свойство ассоциативности.

Свойство коммутативности.

Свойства элементарных логических функций, двойственные аксиомы и теоремы алгебры логики

Некоторые законы алгебры также применимы к алгебре логики: логические выражения, содержащие операции дизъюнкции и конъюнкции, можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т. д.) по правилам алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию – операцией умножения.

Свойство коммутативности для умножения (конъюнкции):

A·B = B·A

Свойство коммутативности для сложения (дизъюнкции):

A+B = B+A

Свойство ассоциативности для умножения (конъюнкции):

A(B·C) = (A·B)C

Свойство ассоциативности для сложения (дизъюнкции):

A+(B+C) = (A+B)+C

Свойство дистрибутивности для умножения по отношению к сложению:

A(B+C) = A·B+ A·C

Свойство дистрибутивности для сложения по отношению к умножению:

A+BC = (A+B)(A+C)

Двойственность определяется как изменение всех знаков операции И на знаки операции ИЛИ, всех знаков операции ИЛИ на И, всех нулей на единицы, а всех единиц — на нули; является одним из основных свойств алгебры логики и означает, что, если f(A, B, C) и f¢(A, B, C) – двойственные функции, то

 

f(A, B, C) = f¢(`A,`B,`C)

1) A = 1, если A ¹ 0	A = 0, если A ¹ 1
2) если A = 0, то`A = 1	если A = 1, то`A = 0
3) 0 + 0 = 0	0 × 0 = 0
4) 0 + 1 = 1	1 × 0 = 0
5) 1 + 1 = 1	1 × 1 = 1
6)`0 = 1	`1 = 0
7) A + 0 = A	A × 1 = A
8) A + 1 = 1	A × 0 = 0
9) A + A = A	A × A = A
10) A = A
11) A +`A = 1	A×`A = 0
12) теорема де Моргана A + B + C =`A`B`C	ABC =`A + `B + `C
13) закон поглощение A(A + B) = A	A + AB = A
14) A +`AB = A + B	A(`A + B) = AB
15) закон склеивания AB +`AB = B(A +`A) = B	(A + B)(A +`B) = A

 

Законы де Моргана, иллюстрирующие свойства двойственности:

 

ABC =`A +`B +`C

A + B + C =`A`B`C

Следствия законов де Моргана:

ABC = `A +`B +`C

A + B + C = `A`B`C

Таким образом, есть возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию, или дизъюнкцию – через конъюнкцию и отрицание. Законы де Моргана и следствия из них справедливы для любого количества переменных.