Краевые задачи
Когда мы описываем какое-либо явление или процесс, то в этом случае должны определить условия его протекания, а именно, что происходит с процессом на его границе в любой момент времени, т.е. должны задать граничные условия.
Рассмотрим процесс свободных (вынужденных) колебаний однородной струны (когда искомая функция, описывающая колебания струны, зависит только от одной координаты u(x,t)), имеющей конечный размер l и границы струны определяются координатами х = 0и х = l. Как мы уже убедились, такие процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка гиперболического типа.
Если концы струны жестко закреплены, то граничные условия имеют вид:
. (14.3)
Если концы струны колеблются по заданным законам 
, то граничные условия имеют вид:
(14.4)
В этих двух случаях на границе объекта задано значение искомой функции.
Если задан закон изменения действующей на концы струны сил (в этом случае на границе заданы нормальные производные 
), то граничные условия имеют вид:
. (14.5)
Если концы струны закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему, то граничные условия для левого конца и правого конца, соответственно, имеют вид:
и 
, (14.6)
где k – коэффициент упругого закрепления концов струны; Т0 – сила натяжения.
В этом случае на границе струны заданы искомая функция, и ее нормальная производная.
Граничные условия (14.3) и (14.4) называются граничными условиями первого рода. Граничные условия (14.5) называются граничными условиями второго рода. Граничные условия (14.6) называются граничными условиями третьего рода.
При изучении колебательных процессов двухмерных объектов (плоскостей или мембран) граничные условия первого рода записываются в виде:
(14.7)
где C – контур, ограничивающий колеблющуюся плоскость; Θ(P,t) – заданная в точке Р с координатами х, у на контуре С функция.
Граничные условия второго и третьего рода, соответственно, имеют вид:
(14.8)
. (14.9)
где n – внешняя нормаль к контуру С.
При изучении колебательных процессов трехмерных объектов (различных тел) граничные условия первого рода записываются в виде:
(14.10)
где S – поверхность, ограничивающий колеблющееся тело; Θ(P,t) – заданная в точке Р с координатами х, у, z на поверхности S функция.
Граничные условия второго и третьего рода, соответственно, имеют вид:
(14.11)
. (14.12)
Такие граничные условия могут быть поставлены так же при изучении тепловых, диффузионных и различных стационарных процессах.
В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:
1) если на границе задано только значение искомой функции, т.е поставлены условия (14.3), (14.4), (14.7) и (14.10), то любое дифференциальное уравнение с этими условиями представляет собой первую граничную задачу или задачу Дирихле;
2) если на границе задано значение нормальной производной искомой функции, т.е поставлены условия (14.5), (14.8) и (14.11), то любое дифференциальное уравнение с этими условиями представляет собой вторую граничную задачу или задачу Неймана;
3) если на границе заданы значение искомой функции и значение нормальной производной искомой функции, т.е поставлены условия (14.6), (14.9) и (14.12), то любое дифференциальное уравнение с этими условиями представляет собой третью граничную задачу или смешанную задачу.
При описании температурных полей в многослойных средах (например, при изучении процессов промерзания горных пород в них образуются промерзлые и талые зоны) на поверхностях раздела необходимо задавать условия сопряжения, граничные условия четвертого рода.
Для идеального теплового контакта эти условия можно представить в виде
;
, .
где λ1 и λ2 – коэффициенты теплопроводности одной и другой среды (мерзлой и талой зон).
Эти условия означают равенство температур и тепловых потоков на контактной поверхности S.
Для неидеального теплового контакта с термическим сопротивлением R на поверхности контакта имеет место равенство тепловых потоков, но появляется пропорциональная им разность температур контактирующих сред или тел, т.е. выполняется условие
.
Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.
Например, для уравнения Лапласа внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области 
функцию и(М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:
Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и(М) уравнения Лапласа
непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхности S условию