Начальные условия

 

Для уравнений в частных производных так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений может быть поставлена задача Коши, задача нахождения решения исходного уравнения, когда искомая функция задана в начальный момент времени, т.е. при t = 0.

Для волнового уравнения, в зависимости от размеров колеблющегося объекта, начальные условия имеют вид:

1. для струны, когда искомая функция, описывающая ее колебания, зависит только от одной координаты u(x,t)

(14.1)

где - заданные функции;

2. для плоскости или мембраны, когда искомая функция, описывающая ее колебания, зависит от двух координат u(x,y,t)

где - заданные функции;

3. для тела, когда искомая функция, описывающая ее колебания, зависит от трех координат u(x,y,z,t)

где - заданные функции.

Для уравнения теплопроводности, в зависимости от размеров объекта, начальные условия имеют вид:

1. для тонкого стрежня, когда искомая функция, описывающая изменение температуры объекта, зависит только от одной координаты u(x,t)

(14.2)

где - заданные функции;

2. для плоскости или мембраны, когда искомая функция, описывающая изменение температуры объекта, зависит от двух координат u(x,y,t)

где - заданные функции;

3. для тела, когда искомая функция, описывающая изменение температуры объекта, зависит от трех координат u(x,y,z,t)

где - заданные функции.

Для стационарных уравнений, в связи с тем, что эти уравнения описывают процессы независящие от времени, начальные условия не ставятся.