Лекция 5 (продолжение). МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ

Задания для самостоятельной работы

Исследовать, являются ли данные решения линейно независимыми.

5.1. . 5.2. .

5.3. .

5.4. . 5.5. .

Найти общие решения однородных уравнений, а также частные решения в тех заданиях, где поставлены начальные условия.

5.6. . 5.7. . 5.8. .

5.9. .

5.10. .

Найти общие решения неоднородных уравнений, а также частные решения в тех заданиях, где поставлены начальные условия.

5.11. . 5.12. .

5.13. . 5.14. .

5.15. . 5.16. .

5.17. . 5.18. .

5.19. . 5.20. .

По заданным корням характеристического уравнения и виду правой части выписать вид частного решения дифференциального уравнения.

5.21. .

5.22. .

5.23. .

5.24. .

Решить задачу Коши

5.25. . 5.26. .

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

5.31.При размыкании цепи (в момент появления искры) сопротивление цепи R быстро возрастает от первоначальной вели­чины Ro до бесконечности. На основании опыта допускают, что за­висимость R от t в этом процессе выражается

где τ — время всего процесса размыкания. Найти силу тока i в лю­бой момент в цепи при постоянной электродвижущей силе Е и самоиндукции L.

 

Для выявления и описания основных закономерностей в протекании технологических процессов, связанных с вибрационным перемещением кусков горной массы можно ограничиться рассмотрением модели относительного движения твердого тела вдоль вибрирующей поверхности (лотка), представленной на рис.5.1.

 

Рис. 5.1. Модель относительного движения твердого тела вдоль вибрирующего лотка

 

Лоток представляет собой прямолинейное одномерное абсолютно твердое тело, расположенное на упругих опорах, обеспечивающих плоскопараллельное движение лотка относительно жестко неподвижного основания. Продольная ось лотка параллельна основанию и образует с горизонталью некоторый угол α. Предположим, что на лотке лежит кусок массой т, при этом угол α не превышает предельный угол трения скольжения куска, так что он не может самостоятельно, без какого либо внешнего воздействия скользить по лотку.

В определенный момент времени лоток начинает совершать плоские поступательные периодические колебания по закону ξ₀(wt) и η₀(wt). В за­висимости от параметров колебаний лотка возможны различные состояния частицы и режимы ее относительного движения.

Во многих случаях эта простейшая модель позволяет вполне удовле­творительно не только в качественном, но и в количественном отношении решать различные задачи вибрационной технологии (в частности, виб­ротранспортирования и вибровнедрения).

Движение лотка и материальной частицы будем рассматривать отно­сительно неподвижной системы ортогональных осей координат ξOη при­чем ось Oξ параллельна продольной оси лотка (рис. 5.1).

Между частицей и лотком возникает нормальная сила N=N(wt), модуль которой зависит от поперечной составляющей вибрации лотка, и тангенциальная силасухого трения F, направленная против скорости относительного движения ξ-ξ₀.

Абсолютное движение частицы в проекциях на неподвижные оси Oη и Oξ можно записать в виде:

; . (5п.1)

В зависимости от направления относительной скорости сила трения

(5п.2)

где f₀ - коэффициент сухого трения; здесь предполагается равенство коэффициентов трения покоя и трения скольжения.

В общем случае направление силы трения удобнее учитывать с по­мощью signum-функции (при х>0 у=+1; при х < 0 у = -1; при х = 0 -1 < у < +1). Тогда вместо выраже­ний (5п.2), сила трения запишется в виде:

(5п.3)

Так как основной практический интерес представляет исследование движения частицы относительно вибрирующего лотка, то решение этой задачи целесообразно рассматривать не в абсолютной, а в подвижнойсис­теме координат хО₁у жестко связанной с лотком и параллельной системе координат ξOη (рис. 5.1). Связь между относительными и абсолютными координатами выражается соотношениями:

x=ξ-ξ₀, y=η-η_0.

После перехода к подвижным координатам уравнения относительно­го движения частицы примут вид:

(5п.4)

Полученная система двух нелинейных уравнений содержит три не­известные величины: горизонтальное х и вертикальное у смещение час­тицы относительно лотка и его реакция N(wt). Для исключения неопре­деленности необходимо привлечь к рассмотрению дополнительные физи­ческие соображения о характере движения частицы. С этой целью проана­лизируем возможные относительные состояния частицы за один период колебаний лотка, а именно: 1) относительный покой, когда частица непод­вижна относительно лотка; 2) относительное скольжение, когда частица скользит вдоль лотка без отрыва от его поверхности и 3) полет, когда час­тица отрывается от лотка (режим движения с подбрасыванием).

В случае относительного покояотносительные перемещения отсутствуют, т. е. х = у = 0. Тогда из второго уравнения системы (5п.4) следу­ет, что нормальная реакция

(5п.5)

При этом из первого уравнения (5п.4) получаем условие относитель­ного покоя:

(5п.6)

Скольжениечастицы без отрыва от поверхности определяется

усло­вием:

х≠0, у=0.

При этом нормальная реакция

N(wt) >0 (5п.7)

и определяется выражением (5п.5).

Таким образом, из первого уравнения системы (5п.4) с учетом (5п.5) следует уравнение безотрывного движения частицы:

(5п.8)

причем в соответствии с условием (5п.7) из (5п.5) следует, что

(5п.9)

Из (5п.9) можно получить условие безотрывного движения частицы:

(5п.10)

где - амплитуда поперечной составляющей вибрации лотка.

Отрыв частицы от поверхности лотка и последующий полет харак­теризуется отсутствием нормальной реакции, т. е.:

N≡0 (5п.11)

Из системы уравнений (5п.4) при условии (5п.11) следуют уравнения, описывающие полет частицы над поверхностью лотка:

(5п.12)

Начальные условия для каждого из возможных состояний частицы и режимов ее движения устанавливаются из анализа предшествующего со­стояния.

Пусть, например, частица лежит неподвижно на лотке. Это состояние описывается соотношениями (5п.5) и (5п.6). При нарушении условия (5п.6) начнется скольжение. Таким образом, определяются начальные условия ре­жима скольжения, описываемого уравнением (5п.8) при соблюдении усло­вия (5п.9). Если на этапе скольжения условие (5п.9) нарушится, то начнется полет, описываемый уравнениями (5п.12), с начальными условиями, соот­ветствующими концу этапа скольжения. Длительность этапа полета τ_п бу­дет определяться из решения системы (5п.12) при условии, что в конце по­лета поперечное перемещение частицы у = 0 и реакция N>0. В результа­те интегрирования (5п.12) вычисляются значения координат и скоростей частицы в конце этапа полета при t= τ_п, т. е.

(5п.13)

Следующий этап (покой, скольжение или вновь полет) будет опреде­ляться условиями ударного взаимодействия частицы с лотком.

В задачах рассматриваемого класса обычно предполагают, что со­ударение происходит практически мгновенно, причем в процессе удара изменение претерпевают относительные скорости частицы, а влиянием удара на движение лотка пренебрегают. Для вычисления относительных скоростей частицы после удара о лоток можно воспользоваться гипотезой Ньютона о пропорциональности относительных скоростей частицы до и после удара:

(5п.14)

где индекс «+» соответствует значению скорости после удара, а индекс «-»соответствует значению скорости до удара; R - коэффициент восстановлениянормальной скорости (0≤R≤1). Случай R=0 соответствует абсо­лютно пластическому удару, когда частица после падения не отскакивает от лотка, случай R=1 соответствует абсолютно упругому удару, когда нормальная составляющая послеударной скорости равна по модулю нор­мальной составляющей до ударной скорости.

Изменение продольной составляющей скорости частицы при ударе описывается с помощью коэффициента мгновенного трения λпри ударе (0≤λ≤1):

Коэффициенты R и λ устанавливаются экспериментально. В прак­тических расчетах обычно используются граничные значения коэффици­ентов R и λ.

Соотношения (5п.13) при учете (5п.14) определяют начальные условия последующего этапа движения частицы.

Рис.5.2. Основные режимы движения частицы по вибрирующей плоскости

 

Изложенный алгоритм позволяет описать основные режимы движения частицы по вибрирующей плоскости. В соответствии с известной классификацией различают следующие режимы безотрывного движения частицы:

· режим 1: скольжение частицы «вперед-назад» с двумя длительными остановками в каждом периоде;

· режим 2: скольжение «вперед-назад» с двумя мгновненными остановками в каждом периоде;

· режим 3: скольжение «вперед-назад» с одной длительной и одной мгновенной остановками в каждом периоде; здесь различают случаи, когда мгновенная остановка следует после скольжения «вперед»(режим 3А) и когда мгновенная остановка следует после скольжения «назад» (режим 3Б);

· скольжение в одном направлении (либо «вперед» - режим 4А, либо «назад» - режим 4Б) с одной длительной остановкой в каждом периоде.

На представленных графиках видно, что за один период колебаний накапливается отличное от нуля смещение частицы «в среднем»; среднее значение функции x(wt)изображено на рис.5.2 штрихпунктирной линией.