Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

1. Найти корни характеристического уравнения однородного линейного уравнения, соответствующего исходному неоднородному линейному уравнению.

2. Определить параметры a,b,q,l правой части – функции f(x) уравнения (5.31).

3. Выписать структуру частного решения с неопределенными коэффициентами в виде (5.32).

4. Вычислить все производные от до п-го порядка включительно и подставить их вместе с в уравнение (5.16).

5. В полученном уравнении приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях переменной х, стоящие в левой и правой частях этого уравнения.

6. Из полученных уравнений составляем систему относительно неопределенных коэффициентов, разрешая которую находим конкретные значения этих коэффициентов.

7. Подставляя найденные коэффициенты в решение (5.32), получим окончательный вид частного решения уравнения (5.16).

Пример 5.5. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f(x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ Определим параметры a,b,q,l правых частей – f_i(x). Функции f₁(x) и f₂(x) являются многочленами и для них a = 0 и b = 0, причем f₁(x) = 1 – многочлен нулевой степени, следовательно, q = 0 и l = 0 а многочлен первой степени и q = 1 и l = 0. Для функции f₃(x) = е^х имеем a = 1, b = 0, q = 0 и l = 0; для функции f₄(x) = хе^х имеем a = 1, b = 0, q = 1 и l = 0.

Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i (x), i =1,2,3,4. Для функций f₁(x) и f₂(x) число = 0 и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s = 0. Кроме того, с учетом (5.33) для функции f₁(x)=1 имеем Q_m=A₀, а для функции f₂(x) = х – Q_m=A₀ х+А₁. Частные решения в этих случаях подбираются в виде:

Для функции f₃(x) и f₄(x) число = 1 и оно совпадает с однократным корнем характеристического уравнения - l₁=1, поэтому показатель степени х в формуле (5.32) s = 1. Кроме того, для функции f₃(x) = е^х имеем Q_m=A₀, а для функции f₄(x) = хе^х – Q_m=A₀х+А₁. В этих случаях решения подбираются в виде:

▲

Пример 5.6. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f(x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ Определим параметры a,b,q,l правых частей – f_i(x). Во всех случаях a =0, а относительно b можно сказать следующее: для функции f₁(x) и f₂(x) b = 1, для функции f₃(x) b = 2. Для функции f₁(x), у которой отсутствует составляющая с sinx, многочлен Р_l(x), а R_q(x)=2, то есть является многочленом нулевой степени, и поэтому q = 0. Для функции f₂(x) аналогично получаем Р_l(x) = 3, а R_q(x) равен нулю, следовательно, l = 0. Для функции f₃(x) многочлен Р_l(x) = х, то есть является многочленом первой степени и поэтому l = 1, а R_q(x) равен нулю.

Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i(x), i =1,2,3. Во всех случаях число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s = 0. Для функции f₁(x) и f₂(x) степень m = max(q,l)=0, а для функции f₃(x) т = 1. Частные решения подбираются в виде:

Отметим, что согласно формулам (5.31) и (5.32), несмотря на то, что в правой части уравнения присутствует только одна тригонометрическая функция cosbx или sinbx, в подборе частного решения участвуют обе. ▲

 

Пример 5.7. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f(x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ Определим параметры a,b,q,l правых частей – f_i(x). Для функции f₁(x), многочлены Р_l(x) и R_q(x) имеют степени l = 1 и q = 2, кроме того, b =1/2 и a =2. Для функции f₂(x) многочлен Р_l(x) = 0, а R_q(x) = х, поэтому q = 1 и, кроме того, b = 2 и a = 1/2. L = 0.

Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i(x), i =1,2. Для функции f₁(x) число совпадает с корнем кратности 2 характеристического уравнения, поэтому s = 2 и m = max(q,l)= max(2,1)=2. Исходя из этого, многочлен Q_m имеет вид: . Для функции f₂(x) число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s= 0 и m = max(q,l) = 1. Следовательно, многочлен T_m имеет вид: .

Таким образом, частные решения подбираются в виде:

.▲

 

Пример 5.8. Найти частное решение уравнения: .

▲ Для правой части исходного уравнения определяем параметры a,b,q,l: a =1, b = 0, q = 1.

Корни характеристического уравнения действительные и различные, . Учитывая, что число совпадает с корнем .кратности 1, то тогда s=1, и m = max(q,l)= 1. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

.

Подставляем в исходное уравнение выражения для у_ч(x) и ее второй производной

.

После преобразований (сокращения на е^х и приведения подобных) получаем равенство:

.

В этом равенстве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях функции переменной х в правой и левой частях:

, откуда следует, что .

Полученные значения неопределенных коэффициентов подставив в вид искомого частного решения, получим окончательно:

.▲

 

Пример 5.9. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Прежде всего, функцию представим в виде суммы двух функций . Для каждого случая будем подбирать свое частное решение исходного уравнения.

Для функции f₁(x) определяем параметры a,b,q,l: a =2, b = 1, q = 0, а для функции f₂(x) соответственно a =-1, b = 0, q = 0.

Характеристическое уравнение имеет корни:

.

Учитывая, что для функции f₁(x) число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s=0, а для функции f₂(x) число совпадает с корнем l₁ кратности 1. Исходя из этого, можно выписать частное решение:

.

Подставляем в исходное уравнение выражения для и его производных и находим значения неопределенных коэффициентов . Для удобства определения этих коэффициентов подставим в уравнение с правой частью f₁(x), а в уравнение с правой частью f₂(x).

Подставляем и производные:

в исходное уравнение с правой частью f₁(x) = .Сокращая на е^2х и приравнивая коэффициенты при cosx и sinx в правой и левой частях полученного равенства, будем иметь систему из двух уравнений:

или после преобразований

откуда находим, что

.

Далее подставляем функцию f₂(x) = и ее производные:

в исходное уравнение с правой частью равной 4е^-х. Сократив на е^-х, получим равенство 8D₀=4, то есть D₀ = ½, следовательно

.

Таким образом, частное решение исходного уравнения запишем в виде суммы двух частных решений, и окончательно оно будет иметь вид:

.▲

 

3.Для нахождения частных решений неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами весьма удобен так называемый операторный метод.

Введем обозначения

(5.34)

Пользуясь этими обозначениями, запишем уравнение

 

в виде

, (5.35)

где - называется операторным многочленом.

Подействовать операторным многочленом на некоторую функцию у это значит продифференцировать эту функцию столько раз, какова степень символа дифференцирования D, умножить на соответствующие постоянные a_i и результаты сложить, то есть совершить следующие операции: . Операторный многочлен с постоянными коэффициентами обозначается через F(D). Для него справедливы формулы:

(5.36)

Эти формулы дают возможность находить частные решения многих неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

Пример 5.10. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Применяя операторный метод нахождения частного решения, запишем исходное уравнение в виде:

Далее, используя 5-ю формулу (5.36), получим:

.

Проверим полученное решение методом неопределенных коэффициентов.

Для правой части исходного уравнения определяем параметры a,b,q,l: a =4, b = 0, q = 0, l = 0.

Запишем характеристическое уравнение: и найдем его корни . Число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s=0, и m = max(q,l)=0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

.

Подставляем в исходное уравнение выражения для у_ч(x) и ее производных

.

Следовательно, частное решение будет иметь вид

.

Таким образом, мы получили решение совпадающее с решением, полученным операторным методом. ▲

 

Пример 5.11. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Применяя операторный метод нахождения частного решения, запишем исходное уравнение в виде:

,

Далее, используя 7-ю и 8-ю формулы (5.36), получим частное решение исходного уравнения:

.▲

 

Пример 5.12.Установить закон изменения концентрации утяжелителя в суспензии по времени при постоянном его добавлении в суспензию.

 

▲ Если количество утяжелителя в суспензии q, а его концен­трация — q/V=ξ, где V — объем распространения в суспензии, то вводи­мый утяжелитель определяется в количестве, пропорциональном его наличному содержанию в суспензии. С другой стороны, концентрация утяжелителя повышается в результате постоянного его добавления.

В итоге этих двух взаимосвязанных процессов находим, что изменение концентрации утяжелителя в суспензии по времени можно описать следующим дифференциальным уравнением

(П5.12.1)

где k — постоянная скорость добавления, ρ — количество добавляемого утяжелителя, мг/мин.

Если утяжелитель не прибавляется, то ρ = 0 и уравнение (П5.12.1) сводится к равенству

тогда как при отсутствии вливания k = Q и уравнение (П5.12.1) примет вид

Представляя уравнение (П5.12.1) в виде

(П5.12.2)

замечаем, что уравнение (П5.12.2) представляет собой неоднородное линейное уравнение, решить которое можно, используя либо метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной), либо метод Бернулли. Рассмотрим метод Лагранжа. Для этого составим для уравнения (П5.12.2) соответствующее однородное уравнение

И найдем его решение, разделив в нем переменные

Будем варьировать постоянную С, т.е. представим ее как функцию t , С=С(t). Тогда решение неоднородного уравнения (П5.12.2) можно представить в виде

(П5.12.3)

Вычислим от (П5.12.3) производную по (t) и подставим ее, а также функцию (П5.12.3) в уравнение (П5.12.2)

Подставив найденную функцию С=С(t) в решение (П5.12.3), получим окончательный вид решения уравнения (П5.12.2)

(П5.12.4)

Используя начальные условия, по которым при t =0 ξ = 0, получим

.

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

или

. ▲

 

Пример 5.13.Найти закон нагрева теплообменника при постоян­ном притоке теплоты.

▲ Пусть: dT — изменение температуры отопитель­ного аппарата в течение времени dt; G — вес аппарата; с — специ­фическая теплота материала аппарата; λ — коэффициент теплопереноса поверхностью аппарата (на единицу площади для повы­шения температуры на 1°С); Q — количество поступающей теплоты в единицу времени; S — поверхность теплопередачи аппарата; T₁— наружная температура; Т— T₁— превышение наружной тем­пературы теплообменника.

В течение времени dt происходят следующие процессы:

а) в теплообменник поступает количество теплоты, равное Qdt;

б) в аппарате накапливается количество теплоты, равное GcdT;

в) отдается в окружающую среду количество теплоты, равное S(Т— T₁)λt.

Суммируя эти количества, получаем уравнение теплового баланса

или

Полагая и , дифференциальное уравнение процесса запишем в виде линейного неоднородного уравнения:

(П5.13.1)

Для нахождения решения уравнения (П5.13.1) воспользуемся формулой Эйлера

(П5.13.2)

 

Используя начальное условие: при t = 0 T=T₁, найдем чему равна произвольная постоянная

Тогда уравнение процесса принимает вид

(П5.13.3)

или, подставляя значения а и b, получим:

При T₁=0из уравнения (П5.13.3) получим

или

(П5.13.4)

Исследуем этот закон. При t получаем

где Т_к — конечная температура теплообменника. Уравнение (П5.13.4) может быть записано в виде

(П5.13.5)

Подставляя теперь в уравнение (П5.13.5) значение

Получаем

Время τ — называется постоянной времени. ▲