Неоднородные линейные уравнения и методы их решений

 

Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

, (5.16)

в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа.

Общее решение уравнения (5.16) имеет следующую структуру

.

Как найти общее решение однородного уравнения мы уже знаем, поэтому основная задача состоит в нахождении частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим методы нахождения частных решений и построения общего решения уравнения (5.16).

1. Один из первых методов, с помощью которого может быть найдено частное и общее решение уравнения (5.16), является метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа.

Суть метода заключается в том, что по общему решению однородного уравнения составляется частное решение неоднородного уравнения путем вариации произвольной постоянной:

, (5.17)

где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х, которые необходимо определить; λ_i – корни характеристического уравнения.

Для нахождения функций Лагранж предложил вычислить производную функции (5.17)

и первую сумму приравнять нулю

. (5.18)

От оставшейся части первой производной

, (5.19)

вычисляем вторую производную

,

и приравниваем первую сумму нулю

. (5.20)

От оставшейся части второй производной

, (5.21)

вычисляем третью производную

,

и приравниваем первую сумму нулю

. (5.22)

От оставшейся части третьей производной

, (5.23)

вычисляем четвертую производную и также как и в предыдущих случаях приравниваем нулю первое слагаемое и продолжаем этот процесс до (n-1)-й производной

.

В полученной производной также приравниваем нулю первое слагаемое

. (5.24)

От оставшейся части в (n-1)-й производной

, (5.25)

вычисляем n-ю производную

. (5.26)

Затем подставив функцию (5.17) и производные (5.19), (5.23) и т.д., (5.25) и (5.26) в уравнение (5.16), получим

или

(5.27)

В этом уравнении все y_i являются частными решениями однородного уравнения - поэтому уравнение (5.27) принимает вид

(5.28)

Таким образом, из уравнений (5.18), (5.20), (5.22), (5.24) и (5.28) можно составить систему

(5.29)

Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского для системы решений , который отличен от нуля при любом значении х из интервала [a,b]. Поэтому система (5.29) дает единственное решение относительно при любом значении х из интервала [a,b]:

откуда

. (5.30)

Подставляя значения в формулу (5.17), получим искомое частное решение неоднородного линейного уравнения (5.16).

Запишем алгоритм нахождения частного решения этим методом и рассмотрим пример.

 

Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

1. Решить однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (5.16). Полученное решение записать в виде:

.

где - фундаментальная система решений однородного уравнения.

2. Выписать структуру частного решения неоднородного уравнения в виде:

.

3. Записать систему (5.29) для определения функций .

4. Путем интегрирования найти функции (произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, положить равными нулю).

5. Полученные функции , подставить в выражение для , которое и будет частным решением неоднородного уравнения (5.16).

 

Пример 5.4. Найти частное и общее решение уравнения:

.

▲ В соответствии с методом Лагранжа, составим соответствующее этому неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами однородное уравнение

и решим его. Для этого запишем характеристическое уравнение: . Это характеристическое уравнение имеет корни: .

Мы видим, что корни характеристического уравнения комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Будем искать частное решение исходного уравнения в виде

. (П5.4.1)

Составим систему (5.29)

или сокращая на е^2х,

. (П5.4.2)

Решить эту систему относительно можно различными способами, например, используя правило Крамера. В данном случае удобнее сначала преобразовать второе уравнение, а именно, умножить обе его части первого уравнения на –2 и затем прибавить полученный результат ко второму. В итоге получим уравнение:

и, следовательно, этим уравнением можно заменить второе уравнение в системе (П5.4.2)

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

 

.

Подставляя полученные значения в (П5.4.1), получим частное решение исходного неоднородного уравнения

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

 

2. Другой метод нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами является так называемый метод подбора или метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основан на том, что структура частного решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка (5.16) в некоторых случаях повторяет структуру правой части, то есть определяется видом функции . Это случаи, когда можно представить в виде комбинаций основных функций: многочленов, показательной и тригонометрических функций. Точнее говоря, метод неопределенных коэффициентов применим к функциям специального вида, то есть к функциям, которые можно записать следующим образом:

, (5.31)

где R_q(x), P_l(x) – многочлены переменной х степени q и l соответственно; a,b - заданные действительные числа.

Итак, если правая часть уравнения (5.16) имеет вид (5.31), то частное решение этого уравнения подбирается в виде:

, (5.32)

где т = max (q,l); Q_m(x), T_m(x) – многочлены переменной х степени т с неопределенными коэффициентами и определяются следующим образом:

(5.33)

где - неопределенные коэффициенты, которые необходимо определить; а натуральное число s в формуле (5.32) определяется так:

Таким образом, по корням характеристического уравнения и виду правой части можно указать вид частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.