ЛЕКЦИЯ 12
ТЕМА: КВАНТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.
ПЛАН:
1. Кванторные операции.
2. Формулы логики предикатов.
3. Значение формулы логики предикатов.
4. Равносильные формулы логики предикатов.
Главная
1. Кванторные операции.
Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если а - некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает
этот предикат в высказывание - Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.
Квантор всеобщности. Пусть Р(х) — предикат, определенный на множестве М. Под выражением " х Р(х) понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно
для каждого элемента х из множества М и ложное, в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее ему словесное выражение будет: «Для всякого х Р(х) истинно». Символ " называют квантором всеобщности.
Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании " х Р(х) переменную х называют связанной квантором ".
Квантор существования. Пусть Р(х) — предикат, определенный на множестве М. Под выражением $х Р(х) понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х Î М, для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существуетх, при котором Р(х) истинно». Символ $ называют квантором существования. В высказывании $х Р(х) переменная х связана квантором $.
Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания: "хÎ N Р(х) - «Все натуральные числа кратны 5»; $хÎN P(x) — «Существует натуральное число, кратное 5». Очевидно, первое из этих высказываний ложно, а второе истинно.
Ясно, что высказывание " х Р(х) истинно только в том единственном случае, когда Р(х) - тождественно истинный предикат, а высказывание $х Р(х) ложно только в том единственном случае, когда Р(х) — тождественно ложный предикат.
Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,у) одноместный предикат "x P(x, у} (или одноместный предикат $х Р(х, у)), зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменной у, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:
"y"xP(x,y), $y"xP(x,y), "y$xP(x,y), $у$хР(х,у).
Например, рассмотрим предикат Р(х, у): « х кратно у », определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р(х,у) приводит к восьми возможным высказываниям:
1. "y"xP(x,y) - «Для всякого у и для всякогох у является делителем х».
2. $y"xP(x,y) - «Существует у, которое является делителем всякого х».
3. "y$xP(x,y)- «Для всякого у существует х такое, что х делится на у».
4. $у$хР(х,у) - «Существует у и существует х такие, что у является делителем х».
5. "х"уP(x,y) - «Для всякого х и для всякого у у является делителем х».
6. "х$уP(x,y) - «Для всякого х существует такое у, что х делится на у».
7. $х$уP(x,y) - «Существует х и существует у такие, что у является делителем х».
8. $х"уР(х,у) - «Существует х такое, что для всякого у х делится на у».
Высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.
Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и его логическое значение (например, высказывания 3 и 8).
Рассмотрим предикат – Р(х), определенный на множестве М = {a1, a2,…, an}, содержащем конечное число элементов. Если предикат Р(х) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания P(a1), P(a2),…, P(an). При этом истинными будут высказывание "хР(х) и конъюнкция P(a1) P(a2)… P(an).
Если хотя бы для одного элемента akÎM P(ak) окажется ложным, то ложными будут высказывание "хР(х) и конъюнкция P(a1) P(a2)… P(an). Значит, справедлива равносильность:
"хР(х) º P(a1) P(a2)… P(an).
Аналогичным образом можно доказать справедливость равносильности:
$хР(х) º P(a1)V P(a2)V…VP(an).
Значит, кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.
Примеры:
1. Какие из следующих высказываний тождественно ложные , а какие тождественно истинные, если область определения М = R?
а) $х (х +5 = х + 3) – тождественно ложное высказывание, т.к. ни при каком х равенство неверно;
б) "х (х2 +х + 1 > 0) – тождественно истинное высказывание: левую часть неравенства перепишем в виде (х + ½)2 + ¾ , эта сумма больше нуля при любом х;
в) $х ((х2 – 5х +6 ³ 0)(х2 – 2х + 1 >0)) – высказывание тождественно истинное, если пересечение областей истинности логически умножаемых предикатов не пусто, и ложное, в противном случае.
Первое неравенство представим в виде (х –2)(х – 3)³ 0, решением которого являются хÎ(-¥; 2]È [3; +¥).
Второе неравенство представим в виде (х – 1)2> 0 . решением которого являются все х ¹ 0.
Пересечение областей истинности: (-¥; 0)È(0; 2]È[3; +¥)¹Æ, значит, высказывание тождественно истинное.
2. Предикат Р(х, у): «x<y» определен на множестве М=N´N.
а) какие из предикатов тождественно истинные, какие тождественно ложные: $хР(х, у), "хР(х, у), $уР(х, у), "уР(х, у)?
$хР(х, у) – не является ни тождественно истинным, ни тождественно ложным: при у =1 $хР(х, у) = 0, т.к. нет натурального числа меньше 1; при у >1 $хР(х, у) = 1, например, х =1. значит, область истинности предиката у>1.
"хР(х, у) – тождественно ложный предикат, т.к. какое бы у не задать, среди натуральных чисел найдутся те, которые больше или равны у.
$уР(х, у) – тождественно истинный, т.к. для всякого каждого натурального числа можно найти большее натуральное число.
"уР(х, у) – тождественно ложный, т.к. какое бы х не задать, среди натуральных чисел найдутся те, которые меньше или равны х.
б) какие из высказываний истинные, какие ложные:
$х"уР(х, у); "х$уР(х, у).
$х"уР(х, у) – ложное высказывание, т.к. не существует натурального х меньшего любого натурального у (для у =1).
"х$уР(х, у) – истинное высказывание, т.к. для любого натурального х существует большее натуральное число у.
3. Предикаты А(х, у) и В(у, z) определены на множестве МхМ, где М={a, b, c}. Записать формулу $xA(x, y)"zB(y, z) без кванторных операций. Предикат $xA(x, y) равносилен дизъюнкции A(a, y) vA(b, y) vA(c, y). Предикат )"zB(y, z) равносилен конъюнкции B(y, a)L B(y, b) LB(y, c). Тогда справедлива равносильность:
$xA(x, y)"zB(y, z)º( A(a, y) vA(b, y) vA(c, y))L B(y, a)L B(y, b) LB(y, c).