Чистые стратегии матричной игры

Различают стратегии чистые и смешанные. Чистая стратегия Ai (i=1,…, m) первого игрока (чистая стратегия Bj (j=1,…, п) второго игрока) - это возможный ход первого (второго) игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1.

Теорема 6.1. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т. е. .

Доказательство. Положим:

.

Объединив эти соот­ношения, получим

.

Отсюда . Это неравенство справедливо для любых i и j, следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Если для чистых стратегий Аi, Вj игроков А и В соот­ветственно имеет место равенство , то пару чистых стратегий (Аi, Вj) называют седловой точкой матричной игры, элемент aij матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца – седловым элементом платежной матрицы, а число - чистой ценой игры.

Наличие седловой точки означает наличие чистых стратегий игроков, гарантирующих каждому из них результат не хуже одной и той же определенной величины.

Из сказанного выше ясно, как проверять платежную матрицу на наличие седловой точки:

– в каждой строке находится минимальный элемент, а среди них берется максимальный;

– в каждом столбце находится максимальный, а среди них берется минимальный;

– если эти два элемента совпадают, то матрица имеет седловую точку, в противном случае нет.

Седловая точка может быть не единственной. Для пояснения рассмотрим пример.

Пример 6.3.Найти седловые точки следующих платежных матриц:

 

1)     В1 В2 В3
  А1
  А2
  А3
 

 

Седловая точка , .

 

 

2)     В1 В2
  А1 -2 -2
  А2 -2 -2
 

Седловой точки нет ().

 

3)     В1 В2 В3
  А1
  А2
 

Две седловые точки (1, 1), (1, 3), цена игры = 12.

Поскольку и справа, и внизу в финал для сравнения выходят по одному числу, постольку получается, что цена игры для разных седловых точек (если их несколько) одна и та же.

При наличии у платежной матрицы седловой точки, естественно, выбирают стратегии, соответствующие этой точке. Такое решение гарантирует одному из игроков «выигрыш» не меньше определенной величины(цены игры ), другому – «проигрыш» не больше этой величины. Отклонение от этих стратегий может дать одному из игроков выигрыш как больше, так и меньше цены игры (никаких гарантий нет), а другому – проигрыш как больше, так и меньше цены игры.