Действие нескольких сосредоточенных сил

Задача о действии одной сосредоточенной силы

Напряжения в грунтовом массиве от действия сосредоточенной силы

Фазы напряженНого состояния грунта.

Определение напряжений в массиве грунта.

Лекция № 3

Задача о действии одной сосредоточенной силы (задача Буссинеска), нескольких сил и любой распределенной нагрузки на плоское полупространство. Задача о действии местной равномерно распределенной на прямоугольной площади нагрузке (строгое решение А. Лява) и метод угловых точек. Эпюры сжимающих напряжений и влияние площади загрузки.

(задача Ж. Буссинеска)

Рассматривается действие сосредоточенной силы Р, приложенной перпендикулярно к ограничивающей полупространство плоскости. Полупространство однородно в глубину, в стороны и обладает линейной деформируемостью (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Расчетная схема действия сосредоточенной силы

Для любой точки полупространства с координатами Z, Y или b, R (например М₁ и М₂) перемещения точек по направлению радиуса R равны:

; . (3.1)

Относительная деформация грунта на отрезке dR :

. (3.2)

Для линейно деформируемой среды напряжение пропорционально деформации

, (3.3)

где - коэффициенты пропорциональности.

Напряжения в массиве грунта связаны с величиной силы Р условиями равновесия. Для составления уравнения равновесия проведем полушаровое сечение с центром в точке приложения сосредоточенной силы (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема радиальных напряжений при действии сосредоточенной силы

Для выделенного элементарного шарового пояса с центральным углом db радиальное напряжение принимается постоянным.

Условие равновесия – сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю:

, (3.4)

где dF – площадь кольца полушария при увеличении угла b на величину db:

. (3.5)

Тогда:

. (3.6)

 

После вычисления интеграла получим:

 

. (3.7)

 

Отсюда следует, что

. (3.8)

 

Поставляя найденные коэффициенты пропорциональности в (3.3), получим выражение для радиального напряжения

 

. (3.9)

Радиальное напряжение, отнесенное к площадке параллельной ограничивающей плоскости, обозначим . Из геометрических соотношений

. (3.10)

 

Разложим силу на три направления z, x, y (рис. 3.3):

(3.11)

Рис. 3.3. Составляющие напряжений для площадки, параллельной

ограничивающей плоскости.

 

Учитывая, что

 

 

, (3.12)

 

получим величины составляющих напряжений для площадки, параллельной ограничивающей плоскости:

 

(3.13)

Вывод: компоненты напряжений для площадок, параллельных ограничивающей полупространство плоскости, не зависят от упругих постоянных однородного линейно деформируемого полупространства.

Принимая во внимание, что

(3.14)

и обозначив

, (3.15)

 

получим широко используемое на практике при расчете осадок фундаментов простое выражение для сжимающих напряжений :

 

. (3.16)

 

Для облегчения расчетов значения коэффициента К табулированы. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих напряжений при действии сосредоточенной силы приведены на рис 3.4.

Рис. 3.4. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих

напряжений при действии сосредоточенной силы

 

Рассмотрим действие сосредоточенной силы Q, приложенной на поверхности параллельно ограничивающей полупространство плоскости (рис. 3.5).

Сжимающие вертикальные напряжения при действии горизонтальной силы можно определить по формуле

. (3.17)

 

 

Рис. 3.5. Схема действия сосредоточенной силы Q.

 

Имея выражения для сжимающих напряжений при действии вертикальной и горизонтальной сил, можно найти сжимающие напряжения для наклонной силы.