Геометрический смысл дифференциала
df = A (x – x0 ) + B(y – y0)
есть приращение аппликаты на касательной плоскости, (рис. 5.3)
Рис. 5.3
Или в плоскости сечения плоскостью
Рис. 5.4
На рис. 5.4 выбрано другое расположение точек, чем на рис. 5.3.
5.2.3. Различные способы задания поверхностей
Поверхность – это отображение вида j : R2 ® R3.
a) Явное задание
z = f(x,y), (x,y) Î D.
b) Параметрическое задание
, w = j(t), wÎR3, tÎR2.
Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j ),непрерывно дифференцируемы, то есть принадлежат классу C1. Матрица Якоби отображения jопределяется, как матрица типа 3х2, составленная из частных производных отображения
, (u,v)Î D .
Обозначим ее миноры второго порядка F23 , F31 , F12 .
, , .
Можно показать, что в этом случае в точке M0(x0,y0,z0)где x0 = x(P0), y0 = y(P0), z0 = z(P0), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор
N . Этот вектор нормали можно находить из символического вектрного произведения
N
Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид
F23(P0)(x – x0) + F31(P0) (y – y0) + F12(P0) (z – z0) = 0
Или
.
Частные производные в определителе слева вычисляются в точке P0=(x0, y0).
c) Неявное задание поверхности
F(x,y,z) = 0.
Уравнение касательной плоскости в точке M0(x0,y0,z0)имеет вид (это будет доказано в разделе «Теория неявных функций»)
.
5.5.
5.2.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Старшие производные
Пусть f(x,y)определена на D , если существует частная производная в некоторой окрестности точки M0, то можно говорить о производной от этой функции
, .
Аналогично определяются производные . Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае
.
Производная n–го порядка определяется, как производная от производной (n–1)-го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,
.
Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования).
Если функция u = f(x,y) имеет в окрестности точки M0(x0,y0) смешанные производные и , непрерывные в самой точке M0 , то в этой точке смешанные производные будут равны
= .
Доказательство. Рассмотрим выражение
W = (5.1)
Это же выражение можно записать в виде
W = (5.2)
Положим j(x) = f( x, y) – f( x, y0). Из (5.1) получим
W = = = (5.3)
Теперь положим y(y) = f( x, y) – f(x0, y) . Из (5.2) получим
W = = = (5.4).
Требуемое равенство получится, если перейти к пределу в (5.3), (5.4) при .
Замечание. Утверждение теоремы справедливо для смешанных производных любого порядка по любым переменным, лишь бы число дифференцирований по каждой переменной в обоих случаях было одно и тоже.
Например,
, при условии, что указанные смешанные производные существуют в некоторой окрестности и непрерывны в самой точке.