Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области

Моменты инерции тела


Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

 

и моменты инерции тела относительно координатных осей

 

 



При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования D1, D2, D3, ... , монотонно исчерпывающих область D, т.е. D1 Ì D2Ì D3Ì... и Dn ® D при n ® ¥. Например, если область интегрирования D совпадает со всей плоскостью Ох у, то за последователь { Dn } можно принять совокупность концентрических кругов x2 + y2 £ an2 , an < an+1, n = 1, 2, ... , где an® ¥ при n ® ¥.

Если предел последовательности интегралов существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

 

Пример 1. Вычислить интеграл , где область интегрирования D – вся плоскость.

В качестве областей интегрирования {Dn} выбираем круги х2 + у2n2 радиуса n (n = 1, 2, …).

Переходя к полярным координатам, получим

= = = 2π=

= 2π= π. Интеграл сходится и равен π.

 

Для интеграла по неограниченной области D справедлив следующий

 

Признак сравнения. Если 0 ≤ f (x, y) ≤ g (x, y) (x, y)D, и интеграл

сходится, то сходится и интеграл .

Если же интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования:

= = .

Несобственные интегралы от функции трех, четырех и более числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично.