Замена переменных в двойном интеграле
1.5.1. Понятие криволинейных координат точки
Пусть в области D* плоскости О*u v задана пара функций
(1)
которые будем считать непрерывными в этой области и име-
ющими в ней непрерывные частные производные. В силу (1) Рис.14.
каждой точке М*(u, v) области D* отвечает одна определенная
точка М (х, у) в плоскости Оху и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество точек (х, у) в плоскости Оху (рис. 14). При этом говорят, что функции (1) задают отображениеобласти D* плоскости О*u v на область D плоскости Оху.
Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х, у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u и v: 
(2)
В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции g (х, у) и h (х, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия L Ì D с помощью преобразования (2) перейдет в непрерывную линию L*Ì D*.
По заданной паре u0, v0значений переменных u, v из области D*можно однозначно определить не только положение точки М* (u0, v0) в самой области D*, но и положение соответствующей точки М (х0, у0) в области D,
х0 = j (u0, v0), у0 = y (u0, v0). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки М области D на плоскости Оху. Их называют криволинейными координатами точки М.
Множество точек области D, у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной линией. Полагая в формуле (1) v = v0, получим параметрические уравнения координатной линии
х = j (u, v0), у = y (u, v0). (3)
Здесь роль параметра играет переменная u. Придавая координате v различные постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости Оху. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (u = const).
При наличии взаимно однозначного соответствия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных коорди-
натных линий на плоскости Оху является образом прямоугольной сетки на плоскости O*u v.
1.5.2. Элемент площади в криволинейных координатах.