Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух

определенных интегралов или, говоря иначе, сведением его к повторному.

1.4.1. Случай прямоугольника

Пусть область D – замкнутый прямоугольник со сторонами,

параллельными осям координат: П = {a £ x £ b, c £ y £ d}.

Пусть функция f ( x, y ) ³ 0 непрерывна в П. Тогда, как это

было показано в п.1.2., двойной интеграл от этой функции по

области П выражает объем цилиндрического тела, ограниченного

сверху поверхностью z = f ( x, y ).

Рассмотрим это тело. Проведем плоскость y = y₀, c £ y₀ £ d,

перпендикулярную оси Оу (рис. 5). Эта плоскость рассечет Рис.5.

цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ₁А₁,

ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями z = f ( x, y₀ ), у = y₀ .

Площадь трапеции АВВ₁А₁, выражается интегралом

, (1)

где интегрирование ведется по х, а y₀ = const. Величина интеграла (1) зависит от выбора значения y₀ . Положим

S(y) = . (2)

Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле V = .

С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f ( x, y ) по прямоугольнику П. Значит = . Заменяя S(y) его выражением (2), получим =. Последнее соотношение обычно записывают в виде = . (3)

Объем цилиндрического тела можно найти также по площадям сечений плоскостями х = х₀. Это приводит к формуле = . (4)

Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f ( x, y ). Они называются повторными интегралами от функции f ( x, y ) по области П.

Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и = , (5)

т.е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f ( x, y )

не зависят от порядка интегрирования.

Пример 1. Найти интеграл от функции z = x² + y² по области

П = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Имеем (рис.6): dy = =

= == .

Рис.6.

1.4.2. Случай произвольной области

Пусть область интегрирования – произвольная огра-

ниченная замкнутая область D на плоскости Оху, удо-

влетворяющая следующим условиям: любая прямая ,

параллельная оси Оу, пересекает границу этой области

не более чем в двух точках или по целому отрезку

(рис. 7а).

Заключим область D внутри прямоугольника Рис.7.

П = {a £ x £ b, c £ y £ d} так, как показано на рис. 7б.

Точками А и С граница области D разбивается на две кривые АВС и АЕС. Каждая из

этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной

точке. Поэтому их уравнения можно записать в виде:

. (6)

Пусть f ( x, y ) ³ 0 – некоторая функция, непрерывна в D. Рассечем цилиндрическое

тело, ограниченное сверху поверхностью z = f ( x, y ), а снизу - областью D, плоскостью

x = const, a < x < b.

В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис. 8), пло-

щадь которой S (x) выражается обыкновенным интегралом от функ-

ции f ( x, y ), рассматриваемой как функция одной переменной у.

При этом у изменяяется от ординаты j₁(х) точки Р до ординаты j₂(х)

точки Q : точка Р есть точка “входа” прямой x = const (в плоскости

Оху) в область D, а Q – точка ее “выхода” из этой области. Т.к.

уравнение кривой АВС есть у = j₁(х), а кривой АЕС – у = j ₂(х), то

эти ординаты при взятом х соответственно равны j₁(х) и j ₂(х).

Следовательно, интеграл = S(x) (7) Рис.8.

дает выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a ≤ x ≤ b). Т.о.

= . (8)