Основные свойства двойного интеграла
Считаем, что встречающиеся здесь подынтегральные функции интегрируемы.
1. 
dx dy = 
dx dy ±
dx dy.
2. 
dx dy = 
dx dy ±dx dy.
3. 
dx dy = Adx dy.
4. Если для всех точек ( x, y )
D f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), то dx dy ≤dx dy.
5. Площадь плоской области: 
= S, т.к. 
= S.
6. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой областиD, площадь которой S, то
mS ≤dx dy ≤ MS, где m и M - соответственно наименьшее и наибольшее
значения f ( x, y ) в областиD.
7.Теорема о среднем значении функции. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой
областиD, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (х0, у0), что dx dy = f ( х0, у0) · S.
Величину f ( х0, у0) = 
dx dy называют средним значением функцииf (x,y )
в областиD.
Геометрический смысл теоремы о среднем значении. Если в области D
функция f ( x, y ) ³ 0, то данная теорема гласит, что существует прямой
цилиндр с основанием D (площадь которого равна S ) и высотой
H = f ( x0, y0), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 4 ).
 |
Рис. 4 .