Основные свойства двойного интеграла

Считаем, что встречающиеся здесь подынтегральные функции интегрируемы.

 

1. dx dy = dx dy ±dx dy.

2. dx dy = dx dy ±dx dy.

3. dx dy = Adx dy.

4. Если для всех точек ( x, y )D f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), то dx dy ≤dx dy.

5. Площадь плоской области: = S, т.к. = S.

6. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой областиD, площадь которой S, то

mS ≤dx dy ≤ MS, где m и M - соответственно наименьшее и наибольшее

значения f ( x, y ) в областиD.

7.Теорема о среднем значении функции. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой

областиD, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (х0, у0), что dx dy = f ( х0, у0) · S.

Величину f ( х0, у0) = dx dy называют средним значением функцииf (x,y )

в областиD.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении. Если в области D

функция f ( x, y ) ³ 0, то данная теорема гласит, что существует прямой

цилиндр с основанием D (площадь которого равна S ) и высотой

H = f ( x0, y0), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 4 ).

 

 
 

 

 


Рис. 4 .