Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Достаточные условия интегрируемости

Теорема 1. Всякая функция f ( x, y), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области.  

 

Теорема 2. Если функция f ( x, y) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D.

 

Замечание. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, которые, согласно теореме 1, и интегрируемы в данной области.



Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f ( x, y ) ³ 0,

снизу – замкнутой областью D плоскости Оху, с боков – цилиндри-

ческой поверхностью, образующая которой параллельна оси Оz, а

направляющей служит граница области D (рис. 3). Такое тело назы-

вается цилиндрическим. Найдем его объем V.

Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f ( x, y ) на

плоскость Оху) произвольным образом на n областей Di , площади которых Рис.3.

равны DSi , i = 1,2,..., n. Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di , ограниченные сверху кусками поверхности z = f ( x, y ). В своей совокупности они составляют все рассматриваемое цилиндрическое тело.

Обозначим объем столбика с основанием Di через DVi , получим V =. Возьмем на

каждой площадке Di произвольную точку M i ( x i , y i ) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi = f ( x i , y i ). Объем этого цилиндра приближенно равен объему DVi цилиндрического столбика, т.е. DVi ≈ f ( x i , y i ) · DSi . Тогда получаем:

V =≈ f ( x i , y i ) · DSi . (4)

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di . Естественно принять предел суммы (4) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n → ∞), а каждая площадка стягивается в точку (d =di → 0), за объем цилиндрического тела, т.е. V = f ( x i , y i ) DSi , или, согласно равенству (3),

V = . (5)

 

Т.о., величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.