Двойной интеграл

1.1. Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная

функция z = f ( x, y ). Разобьем область D на n “элементарных

областей” D_i , i = 1,2,..., n, площади которых обозначим через DS_i ,

а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) –

через d _i ( рис. 1). Рис.1.

В каждой области D_i выберем произвольную точку M _i ( x _i , y _i ),

умножим значение f (x _i , y _i) функции в этой точке на DS_i и составим сумму всех таких произведений:

f (x₁, y₁)ΔS₁ + f (x₂, y₂)ΔS₂ + … + f (x_n, y_n)ΔS_n = ΔS_i. (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f ( x, y) в области D.

 

Пусть d = d_i. Если при d → 0 существует предел интегральных сумм (1), не зависящий ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от выбора точек

M _i ( x _i , y _i ) в элементарных областях, то он называется двойным интегралом от функции

f ( x, y ) по области D и обозначается символом . Т.о., по определению,

 

= . (2)

 

Из приведенного выше определения двойного интеграла следует, что

т.к. предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения области

D на элементарные области, то ее можно разбивать и на участки прямыми,

параллельными координатным осям (рис.2). При этом DS_i = Dх_i Dу_i .

Поэтому равенство (2) можно записать в виде Рис.2.

 

= . (3)

 

Функция f ( x, y )при этом называется интегрируемой в области D( f ( x, у) – подынтегральная функция; f ( x, y) dx dy или f ( x, y) dS – подынтегральное выражение;

dS или dx dy – дифференциал (или элемент) площади; область D – область интегрирования;точка М ( х, у) – переменная точка интегрирования ).