Геометрическая интерпретация частных производных. Приращение функции. Дифференциал

Определение частной производной

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x,y)на D, M⁰=(x⁰,y⁰)– внутренняя точка. Фиксируем y⁰, определяем функцию одного переменного F(x) = f(x,y⁰). Если у этой функции одного переменного существует производная в точке x⁰ , то она называется частной производной функции f(x,y) и обозначается

.

Обозначения для частной производной: f_x¢ , f₁¢ . Аналогично определяется .

Общий случай. Пусть f(M) = f(x₁,x₂,…,x_n)определена в окрестности точки . Тогда частная производная по первой переменной определяется как предел

 

и по переменной x_k

.

Замечание. Так как определение частных производных сводится к понятию обычной производной некоторой функции одного переменного, то справедливы свойства, аналогичные свойствам производных для функции одного переменного. В частности, справедливы формулы для производных суммы, произведения и частного двух функций.

См. слайд «Частная производнная».

Частная производная

Некоторые обозначения .

Определение. Функция f(x) дифференцируема в точке в точке x⁰ , если ее приращение в этой точке представимо в виде

Df = (A, Dx)+o(r),

где (A,Dx)= , r=r(x,x⁰), o(r)=e(x, x⁰)r(x,x⁰), .

Линейная функция (A,Dx)называется дифференциалом и обозначается

df(x⁰) =(A,Dx)= A₁Dx₁ +…+ A_nDx_n .

Замечание. В определении дифференциала величину o(r)=er можно записывать в виде

a₁Dx₁+a₂Dx₂+…+a_nDx_n=(a , Dx), где a - бесконечно малый вектор.

Действительно, имеем er= = , и обратно, .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Всякая дифференцируемая в точке x⁰ функция непрерывна в этой точке.

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Теорема. Если f(x) дифференцируема в точке x⁰ и df= , то в этой точке существуют все частные производные .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Следствие. Дифференциал функции в точке (коэффициенты A_k ) определяется однозначно.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если функция f имеет частные производные в некоторой окрестности точки M⁰ , непрерывные в самой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Доказательство (для случая n = 2).Для приращения функции можно записать равенства

Df = f(x,y) – f(x⁰,y) + f(x⁰,y) – f(x⁰,y⁰)= + =

= +aDx+bDy ,

где a , b- бесконечно малые функции. Здесь была использована теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Примерфункции, имеющей частные производные в точке, но не дифференцируемой в точке f(x,y) = (слайд «Сечения»).

Сечения

Отметим, что |f(x,y)|£|y| Þ функция f(x,y)непрерывна всюду. Обе производные в точке равны нулю: = =0, = = . Если бы функция была дифференцируема в точке , то Df = o(r)Þ , или . Но при x=y получим .

5.1.3. Простейшие свойства дифференциала. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть u=f(x) дифференцируема в точке x⁰ = (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) и функция j(t),t=(t₁,…,t_m) дифференцируема в точке t⁰ и x⁰ = j(t⁰). Тогда в окрестности точки t⁰ определена сложная функция F(t) = f(j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t⁰ и

dF =

Доказательство. В силу дифференцируемости f и j_j эти функции непрерывны в точках x⁰и t⁰соответственно. Из теоремы о непрерывности сложной функции суперпозиция определена в некоторой окрестности точки t⁰ . Для краткости, будем обозначать r=r(x,x⁰)=r(j(t),j(t⁰)), , Dx_i =j_i(t) – j_i(t⁰) . Отметим, что ограничено в некоторой окрестности точки t⁰ . Действительно,

r £ max|Dx_i|, |Dx_i| = £

Так как , то , откуда и следует ограниченность этой функции. Далее

DF=Df= , Dx_i= .

Подставляя выражения Dx_i из второго равенства в первое получим

DF= = .

Из ограниченности следует, что e¢ = - бесконечно малая функцияи дифференцируемость сложной функции доказана. При этом дифференциал равен

Следствие. В силу единственности дифференциала, справедливо равенство

.