Логическое следствие
Определение. Формула B есть логическое следствие формул A1, A2, .., An, если формула B принимает истинное значение при тех же значениях, при которых истинна каждая из формул A1, A2, .., An.
Запись (A1, A2, .., An)ÞB означает, что B – логическое следствие формул A1, A2, .., An.
Пример. (A®B, A®)Þ.
Докажем данное следствие.
A | B | A®B | A® | ||
И | И | И | Л | Л | Л |
И | Л | Л | И | И | Л |
Л | И | И | Л | И | И |
Л | Л | И | И | И | И |
Из определения следует, что противоречие логически влечет любую формулу, а тавтология логически следует из любой формулы логики.
Определение. Формулы F и G называются равносильными, если они являются логическими следствиями друг друга. Обозначение: .
Проанализировав последнее определение, получаем, что формулы равносильны, если они на всех наборах значений переменных превращаются в одинаковые по истинностному значению высказывания.
Следующие теоремы связывают логическое следствие и импликацию, равносильность и эквиваленцию.
Теорема1. тогда и только тогда, когда A®B – тавтология.
Теорема2. тогда и только тогда, когда A«B – тавтология.