Определение непрерывности и простейшие свойства

Предел функции в точке в направлении заданного вектора

Свойства пределов

Для пределов функций многих переменных имеют место те же свойства, что и для функции одного переменного: локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел, сохранение знака функции, имеющей не нулевой предел, свойства арифметических операций ( сложение, умножение, деление). Докажем, например, свойство для произведения пределов.

Если существуют конечные пределы , , то будет существовать .

Доказательство проводится, используя определение предела по Гейне. Пусть {x^k}последовательность типа Гейне (x^k ® x⁰ ) . Тогда , . Откуда следует, что , поэтому .

Пусть f(x)определена в некоторой проколотой окрестности точки x⁰и a=(a₁,a₂,…,a_n) – заданный вектор.

Пределом функции f(x) в точке x⁰ в направлении вектора a называется предел (слайд «Предел по направлению»)

.

Предел по направлению

Замечание. Если существует , то существует и предел функции f(x) в точке x⁰ по любому направлению и он равен A.

Для доказательства достаточно отметить, что

r( x⁰+ta, x⁰ )= .

Таким образом при t® 0+0будет r( x⁰+ta, x⁰ ) ® 0. Пусть e > 0, из определения предела $d>0"xÎD, 0<r( x, x⁰)< d:|f(x) - A|<e. Для указанного dнайдется gокрестность 0такая, что при |t| < gбудет выполнено неравенства r( x⁰+ta, x⁰ )< dи следовательно |f(x⁰+ta) - A|<e.

4.2.5. Повторные пределы (случай n = 2)

Пусть функция f(x)определена в проколотой окрестности точки M⁰ = (x⁰,y⁰) . Предположим, что существует j(y) = для всех y из некоторой окрестности y⁰и . В этом случае говорят о повторном пределе . Можно рассмотреть и второй повторный предел .

Теорема. Если функция f(x) определена в проколотой окрестности точки M⁰ = (x⁰,y⁰) и существует конечный предел =A и

для "yÎ(y⁰-g, y⁰+g)$j(y) = . Тогда $ =A (слайд «Повторные пределы»).

Доказательство. Пусть e>0 для него $d>0:

0<r(M,M⁰)<d Þ A - e/2 < f(M) < A + e/2.

Перейдем к пределу в этих неравенствах при x® x⁰ . Получим

A - e/2 £ j(y) £ A + e/2для всех y изнекоторой окрестности y⁰.

Повторные пределы

Следствие. Если при существовании предела функции существуют оба повторных предела, то они равны.

Предел иногда называют двойным пределом в отличии от повторных.

Пример. , M⁰=(0,0).

Таким образом, двойного предела нет.

4.3. Непрерывность функции многих переменных

Непрерывность, свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Пусть x⁰ – предельная точка множества D, f(x) определена на D.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x⁰ , если x⁰ Î D и

=f(x⁰).

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Если функция не является непрерывной в точке x⁰ , то эта точка называется точкой разрыва.

Таким образом, в точке разрыва либо функция не определена, либо не выполнено соотношение =f(x⁰).

Отметим простейшие свойства непрерывных функций, которые следуют их соответствующих теорем для пределов.

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций является так же непрерывной функцией ( в последнем случае знаменатель должен быть отличен от нуля). Кроме того непрерывной является модуль непрерывной функции.

4.3.2. Кривые в n – мерном пространстве

Рассмотрим n – функций

, tÎ[a,b], кратко это можно записать

x=j(t), tÎ[a,b](4.3)

Используя геометрическую терминологию, говорят, что соотношения (4.3) задают кривую в n – мерном пространстве. Эта кривая называется непрерывной, если непрерывны все координаты j_k(t). Аналогично, кривая называется непрерывно дифференцируемой, если таким свойством обладают все координаты. Кривая называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и || ||¹ 0.Кривая называется кусочно-гладкой, если она непрерывна и состоит из конечного числа гладких кривых. n – мерный вектор называется касательным вектором к кривой в соответствующей точке x = j(t). Параметрическое уравнение касательной в этой точке x⁰= j(t⁰)имеет вид x = x⁰ + j¢(t⁰) u, где uÎ(-¥,¥) – параметр.