Свободное падение тела с учетом сопротивления среды.

Вэтой и многих других физических задачах, на основе которых строятся модели, фундаментальную роль играет второй закон Ньютона - основа динамики. Формулируем его вначале в «школьной» форме , а затем, чтобы исследовать реалистические ситуации, необходимо подвести учащихся к более общей математической форме. Приводим следующее рассуждение: если движение происходит с переменной скоростью, то, как известно учащимся, для его характеристики привлекаются два понятия: средняя скорость за некоторый промежуток времени , равная отношению , где - пройденный путь и мгновенная скорость в данный момент времени t, которая на математическом языке записывается, как Точно так же при движении с постоянным ускорением можно ввести два понятия - среднее ускорение за время , равное , и мгновенное ускорение в момент t:

В стандартных математических обозначениях т.е. мгновенная скорость есть производная от перемещения по времени, а мгновенное ускорение - производная от скорости по времени. Второй закон Ньютона в уточненной редакции утверждает: ускорение, с которым движется тело в данный момент времени, пропорционально действующей на него в этот момент силе и обратно пропорционально имеющейся в данный момент у тела массы:

^{и (1)}

разные записи этого утверждения.

Приведенное рассуждение является типичным для этой темы обоснованием перехода от дискретного к непрерывному.

Далее отмечаем, что при реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Очевидно, что предмет, сбро­шенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнув­ший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды.

Поясните учащимся, что закономерности, связывающие силу со­противления со скоростью движения тела, носят эмпирический ха­рактер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. Приведите эти закономерности (при этом вполне достаточно ограничиться линейной и квадратичной по ско­рости составляющими силы сопротивления: ).

Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения - это уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:

(2)

При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы, действующие на тело; это будет способствовать наилучшему восприятию полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов.

Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер.

На этом этапе возникает вопрос о способах решения дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их решения - численные. Для начала вполне достаточно ограничиться методом Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если наосновании определения производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением , то, зная скорость v₀ в начальный момент времени t = 0 и обозначив ее как v₁ в момент , перепишем уравнение в виде

(3)

Если далее понимать под v₁ приближенное значение скорости в момент , то получим формулу для вычисления v₁:

( 4)

Это и есть формула метода Эйлера.

Далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением v₁ можно, отталкиваясь от него, найти v₂ и т.д. Общая формула метода Эйлера применительно к данной задаче такова:

(5)

Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю. Для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со скоростью соотношением то, приводя схожие с приведенными выше рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению s_n+1 - s_n + v_n , решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод Эйлера к системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных начальных условиях v(0) = v₀, s(O) = s_o, получим таблицу значений функций v(t), s(t).

Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная проблемы - это контроль точности и выбор шага по времени . Казалось бы, чем меньше шаг, тем точнее решение но, во-первых, это утверждение не является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как выбрать шаг по времени для вывода значений перемещения и скорости на экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности информации и обозримости представления результатов на экране; из практических соображений удобно, если он кратен (реально шаг вывода результатов может составлять десятки и сотни ).

Кроме того, ставится задача: представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия виде. Это могут быть графики зависимостей v(t), s(t); изображение процесса падения в динамике (здесь возможны вариации).

Как отмечалось выше, если математическая подготовка учащихся недостаточна, проводить моделирование на основе дифференциальных уравнений затруднительно и нецелесообразно. Возможный выход - использование конечно-разностных уравнения. К построению модели и учету факторов, влияющих на изучаемое явление или процесс, подходим на должном уровне строгости, но предельный переход не выполняем, останавливаемся и записываем вместо дифференциальных соответствующие конечно-разностные уравнения. Проведем соответствующее несложное рассуждение, в котором упоминание о дифференциальных уравнениях отсутствует полностью.

Вспомним, что ускорение есть приращение скорости, а скорость - приращение перемещения: . Знаки приближенного равенства свидетельствуют о том, что эти соотношения тем точнее, чем меньше промежуток ; в пределе ->0 становятся точными.

Если в некоторый момент времени t₀ величина S имеет значение S₀, а величина v - значение v₀, то в некоторый последующий момент времени t₁= t₀ + будем иметь:

(6)

Здесь введены обозначения .

При вычислениях значений v и s в последующие моменты времени можно поступать аналогично (6). Так, если известны значения v₁ и s_i, в момент t_i,то

(7)

 

На самом деле мы, естественно, пришли к формулам метода Эйлера, но методически иначе, даже не упоминая о дифференциальных уравнениях.

При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной At проявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.

Вопрос о выборе конкретного значения At весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном мо­делировании мы можем получить решение задачи о движении тела на некотором конечном отрезке времени [t₀, T]. Чем меньше ве­личина :

а) тем больше вычислений требуется, для того чтобы пройти весь заданный временной интервал;

б) тем выше точность в передаче значений непрерывных функций s(t), v(t) их дискретными представлениями – наборами чисел S_i = s(t_i), V_i=v(t_i).

Вопрос о точности результатов является в описываемом моде­лировании одним из центральных. Он распадается на два: как оце­нить эту точность и можно ли, уменьшая At, достигать все боль­шей точности?

Остановимся вначале на первом. Теоретические оценки точно­сти слишком сложны и на практике часто неприменимы. Самый популярный эмпирический прием оценки точности заключается в следующем: отрезок [t₀, Т] проходится с некоторым шагом , a затем с существенно меньшим (например, в два раза) шагом. Срав­нение результатов в точках t₁, t₂, ..., T позволяет составить пред­ставление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то следует повторить процесс с еще меньшим шагом. Однако уменьшение , как ни странно, не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий и тем больше шансов увеличить чисто вычислительную погрешность округления, всегда сопутствующую компьютерным вычислениям. Другая причина глубже и связана со способом дискретизации - перехода от описания реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простейшим формулам (4) — (7). Обе вместе могут привести к неустойчивости решения, т.е. получению результатов, не имеющих реально ничего общего с истинными. Обычно неустойчивость становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага . Способы дискретизации, ведущие к более устойчивым методам решения таких задач, описаны в литературе (см., в частности, [5, 9]).

Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные. Поэтов более целесообразно нацеливать учащихся на самостоятельную разработку программ.

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей более целесообразно нацеливать учащихся на самостоятельную разработку программ.

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться прикладной программой (например, табличным процессором или математическим пакетом типа MathLab, что впрочем, уже потребует дополнительных усилий).

Для того чтобы продемонстрировать учащимся практическую значимость решаемых задач, построенных математических моделей, целесообразно предложить содержательную проблему, да решения которой необходимо применить построенную модель, предварительно формализовав задачу и выполнив ранжирование факторов. В качестве такой содержательной задачи может, напри­мер, выступать задача о полете парашютиста. Проведем детальное моделирование. Перед тем как его начинать, необходимо решить вопрос об удобных способах представления результатов. Разумеет­ся, колонка чисел, выдачи которой проще всего добиться от ком­пьютера при численном моделировании, желательна. Однако слиш­ком много чисел в колонке быть не должно, их трудно будет вос­принимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, гораздо больше шага, с которым интегрируется диффе­ренциальное уравнение, т.е. далеко не все значения v_i найденные компьютером, следует записывать в результирующую таблицу.

Кроме таблицы необходим график зависимости v(t); по нему хорошо видно, как меняется скорость со временем, т.е. происхо­дит качественное понимание процесса.

Еще один элемент наглядности может внести изображение па­дающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Изображениям в разные моменты можно придать разныйцвет - от «холодного» зеленого при относительно малых скоростях до «горячего» красного при высоких скоростях - прием условия цветов, широко используемый в современной научной графике.

Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом - скажем, через каждый метр или 100 метров, смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростомскорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются.

Решение будем выполнять до тех пор, пока парашютист не опустится на землю. Шаг интегрирования дифференциального уравнения можно подобрать методом проб и ошибок, решая уравнение несколько раз, начав, например, с заведомо большого значения = 0,1 си постепенно уменьшая его до тех пор, пока качество решения не станет приемлемым.

Полное моделирование включает изучение временной зависимости не только скорости, но и пройденного телом пути. Не сделав последнего, можно в конкретных ситуациях получить бессмысленный физически результат. Например, парашютист прыгает с полета и через некоторое время достигает вполне безопасной для приземления скорости 10 м/с. Но, сколько он перед этим пролетел? Если это расстояние много больше высоты, с которой со­стоялся прыжок, то фактическая скорость приземления много выше, и это ничего хорошего не сулит.

Компьютерная реализация этой модели может быть выполнена программированием как на традиционном языке программирова­ния (Паскаль, Бейсик и др.), так и, например, в электронных таблицах. Частичное тестирование программ можно проводить при к₂=0, т.е. для движения без трения. Решение в этом случае оче­видно (свободное падение).

Как отмечалось выше, методически целесообразным бывает использование табличных процессоров для моделирования. Резуль­таты решения подобных задач обязательно следует иллюстриро­вать графиками зависимости скорости и перемещения от времени (если же движение неодномерно, тот и изображениями траекто­рий). Разумеется, предпочтительным является построение графи­ков программным путем. Если учащиеся реализуют программы на языке программирования, то проще всего заложить в программу к и построение графиков; если решение реализуется в электронной таблице, то можно воспользоваться заложенными в эти программы графическими возможностями. Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (снизив при этом точность вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью таблич­но процессора и составлением собственной программы — для того, чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов.

Модели свободно падающего тела можно придать черты оптимизационной, поставив задачу, например, так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в к₂), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.

Таким образом, в методическом плане рассмотренная модель выигрышна, поскольку, несмотря на свою простоту, позволяя обсуждать множество связанных с ней проблем.

При выполнении компьютерной лабораторной работы по исследованию модели можно предложить разноуровневые учебные задания (рассчитанные, соответственно, на «среднего» и «сильного» ученика):

1) получить результаты и их графическое отображение для заданного набора параметров модели;

2) исследовать свободное падение тела в средах различной вязкости и провести содержательное сравнение результатов исследования;

3) придать модели черты оптимизационной (самостоятельно или с помощью учителя), выполнить указанные исследования, провести содержательное сравнение результатов исследования.

По использованной здесь схеме могут вводиться и исследоваться другие модели, где учитывается сопротивление среды. При этомуже нет нужды отвлекаться на изучение численных методов реше­ния систем дифференциальных уравнений, поскольку это доста­точно проделать аккуратно только один раз, скажем, на примере рассмотренной выше модели.

Перечислим модели движения тела в среде, которые допускают достаточно простое исследование:

• движение тела, брошенного под углом к горизонту, с учетом сопротивления среды;

• взлет ракеты (особенность — масса тела меняется в ходе движения);

• различные задачи на прицельную стрельбу при движении «снаряда» в среде (в воздухе, под водой и т.д.).

Многие такие задачи сформулированы в пособии [6].

При моделировании движения тел эффективным методическим приемом является обезразмеривание величин, входящих математическую модель. Обезразмеривание заключается в том, что вместо абсолютных единиц системы СИ (или какой-либо другой) переходят к относительным единицам, естественным именно для данного движения. При этом существенно их правильно выбрать. Например, при изучении движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления среды легко получить выражения для дальности полета по горизонтали L, максимальной высоты полета Н, полного времени полета Т (отсылаем к школьным учебникам физики). Введем новые переменные для скорости, перемещения и времени. Будем измерять х- и у-компоненты скорости относительно ее начального значения, перемещение в горизонтальном направлении — относительно L, в вертикальном — относительно Н, время — относительно Т. Это означает введение новых переменных, которые обозначим так:

Переходя в дифференциальных уравнениях модели к новым переменным, получаем в них безразмерные комбинации параметров, определяющих закономер­ности движения.

Смысл этой деятельности заключается в следующем. Во-первых, следует подчеркивать большую естественность в использовании от­носительных (безразмерных) единиц измерения физических вели­чин, нежели абсолютных. Диапазон значений безразмерных вели­чин неширок, в данной задаче, очевидно, что в любой момент времени в ходе движения тела V_х, V_у, X, Y, < 1. Это удобно, осо­бенно при решении задач, в которых значения (размерных) пере­менных изображаются очень малыми или очень большими числами. Получив, например, в какой-то момент значение Х= 0,3, мы по­нимаем, что это составляет 0,3 от максимального движения по го­ризонтали в отсутствие трения, т.е. всякий раз чувствуем смысл, чего не скажешь, получив, например, значение х = 26 м/с.

Важнейшая роль обезразмеривания — установление законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в исходные уравнения или являющихся для них начальными условиями. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров, фактически определяющие характер движения. Если изучаются два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что значения безразмерных параметров одинаковы, то движения будут качественно одинаковы (подобны). Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров, что тоже создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом.

Сделаем оговорку: обезразмеривание — полезный методический прием. Однако если учащиеся испытывают трудности с его пониманием и использованием, настаивать на этом необязательно же по существу результаты можно получить и при использовании уравнений в размерных переменных.

Моделирование колебательных движений. В этой и в последующих обсуждаемых моделях практически откажемся от записи формул; математические формулировки можно найти в указанной ниже литературе.

Колебательные изменения значений величин встречаются в естественных (природных и общественных) и искусственных (технических) системах столь часто, что, несомненно, заслуживают внимания при изучении компьютерного математического моделирования.

По традиции изучение колебательного движения чаще всего начинается с так называемого математического маятника — идеализированной системы, состоящей из тела массы т, прикрепленного к концу жесткого «невесомого» стержня длиной l, верхний конец которого вращается без трения в точке подвеса. Поскольку его движение при малых амплитудах описано в школьных учебниках физики и полностью поддается исследованию аналитически, без привлечения компьютера и численных методов, то методически целесообразно, отметив указанное выше обстоятельство и напомнив учащимся основные результаты, связанные с малыми (гармоническими) колебаниями (для удобства эти фор. мулы приведены ниже), перейти к рассмотрению модели движе­ния математического маятника при произвольном (не малом) начальном угле отклонения.

Процедура вывода уравнения движения маятника описана во многих руководствах. Процесс описывается либо в дифференци­альной, либо в конечно-разностной формах. Переменной, отно­сительно которой записаны уравнения, является G — угол откло­нения нити от положения равновесия. В случае колебаний с ма­лой амплитудой в одном из уравнений можно приближенно заменить sin(G) на 6. Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение, приводимое в школьных учебниках фи­зики. Приводим это решение (гармонические колебания) и обсуждаем его свойства.

Далее ставим задачу исследовать процесс колебаний математического маятника с немалой амплитудой. Она может включать рядчастных заданий; первым из них может быть установление зависимости периода колебаний от начальной амплитуды и его отклонение от периода малых колебаний.

Весьма интересным и полезным, с точки зрения развития учащихся и получения дополнительных знаний, может стать введение представлений о гармоническом анализе. Поскольку никакое регулярное введение в теорию рядов Фурье на этом этапе обучения не нужно и невозможно, то достаточно ограничиться примерно следующим подходом. Уточним еще раз, что такое периодическая функция, и развеем часто существующее заблуждение, что периодическая и гармоническая суть одно и то же. Приводим примеры периодических, но не гармонических зависимостей. Для того чтобы продемонстрировать учащимся, что такого рода зависимости могут быть аппроксимированы суммой простых тригонометрических функций, можно привести (без доказательства) соответствующие ряды и предложить просуммировать (с помощью ЭВМ возрастающее число гармоник, наблюдая на экране, как сумма становится все ближе к исходной зависимости.

При немалых колебаниях движение маятника не является гармоническим, хотя и остается периодическим. Изучаемое периодическое движение при условии, что в начальный момент маятник имеет максимальное отклонение и нулевую скорость, можно представить суммой гармонических, что позволяет увидеть различия между малыми и произвольными колебаниями маятника, понять методику исследования колебательных движений.

Одним из первых заданий на пути такого исследования может быть следующее: ограничиваясь немногими членами ряда, исследовать зависимость амплитуд нескольких первых гармоник от на­чальной амплитуды колебаний. Поскольку формулы для коэффи­циентов Фурье учащимся незнакомы, то есть два пути: либо, при достаточно глубокой математической подготовке, «вывести» эти формулы (что представляется исключительным случаем), либо про­сто взять на кривой 8(/) несколько произвольных (примерно рав­ноотстоящих) точек и привязать в них наблюдаемую зависимость, т.е., по существу, воспользоваться интерполяцией. Этот прием, не будучи строгим, тем не менее, позволяет найти с достаточной для наших целей точностью амплитуды нескольких гармоник.

Дальнейшее моделирование колебаний математического маят­ника может включать в себя:

• колебания маятника при наличии трения;

• вынужденные колебания под действием периодической силы, изучение явлений биений и резонанса при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний маятника;

• колебания маятника с периодически меняющейся длиной нити подвеса и параметрический резонанс.