Теорема 1. Множество действительных чисел несчётно.

Доказательство.

 

def. Мощность множества действительных чисел называем мощностью континуума и обозначаем готической буквой или древнееврейской буквой À («алеф»). Известно, что мощность больше мощности À0 счётных множеств.

Есть ли между À0 и À другие кардинальные числа – знаменитая континуум проблема в математике.

В 1960 г. проблема была решена американским математиком Коэном. Она решается аналогично проблеме пятого постулата Евклида в геометрии. Ни утверждение проблемы, ни отрицание её из аксиоматики теории множеств доказать нельзя. Если в качестве аксиомы взять, что между ними есть числа, то возникает одна ветвь математики, если нет, то другая совершенно независимая.

Примерами множеств мощности континуума являются множества точек любого отрезка, луча, прямой.

Теорема 2. Всякое подмножество счетного множества конечно или счётно.

Теорема 3. Объединение счётного числа счётных множеств счётно.

Теорема 4. Всякое бесконечное множество А содержит счётное множество В, притом такое, что А \ В есть бесконечное множество.

Теорема 5. Всякое бесконечное множество А содержит подмножество В @ А, причем А \ В есть бесконечное множество.

Теорема 6.(Кантора-Бернштейна). Если из двух множеств А и В каждое изоморфно части другого, то эти два множества изоморфны между собой, то есть

|A| ≤ |B| Ù |В| ≤ |А| => |A| =|B|.