Счетные и несчетные множества
Упражнения
1.На рисунке изображены графы различных соответствий. Какие из этих соответствий являются отображениями? Найдите для каждого соответствия его область определения и область значений.
2.Какие из соответствий, графы которых изображены на рисунке, являются:
a) инъективными; б) сюръективными; в) биективными.
def. Множества А и В называются изоморфными, если существует биективное отображение множества А на В. Обозначаются изоморфные множества: А @ В.
Утверждение.Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности.
Следствие. Относительно отношения «быть изоморфными» все множества объединяются в классы. Каждый класс состоит из изоморфных между собой множеств.
dеf. То общее, чем обладают множества одного и того же класса (количество элементов) называются кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса.
Мощность множества А обозначается через |А|. По соглашению |Æ| = 0.
Пример 1.|{a}|=1; |{a,b | a ¹ b}| = 2.
def. Множества X и Y называются равномощными, если существует биективное отображение множества Х на множество У.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. Если множества X и Y равномощны, то пишут X @ Y.
Пример 2.Пусть Х – множество действительных чисел, Y – множество точек координатной прямой. Установим между ними следующее соответствие f: действительному числу a сопоставляется точка M(a) координатной прямой. Соответствие f – биективное отображение Х на Y, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу. Следовательно, Х @ Y.
Пример 3. Пусть Х – множество точек отрезка АВ, Y– множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как существует биективное отображение множества Х на множество Y (см. рис.), то Х @ Y.
Пример 4. Вопрос: Где больше точек? На отрезке длиной 1 см или на отрезке длиной 1 м?
Ответ: