ДМ. Лекция № 5
Отображения (функции)
def. Бинарное отношение ƒ называется функцией(отображением), если для любых x,y,z из того, что (x,y) ∈ƒ и (x,z) ∈ƒ, следует, что y = z.
Другими словами, отношение ƒ является функцией, если для любого x из области определения отношения ƒ существует единственное y, такое что (x,y) ∈ƒ. Этот единственный элемент y обозначается через ƒ(x) и называется значением функции ƒ для аргумента x. Если (x,y) ∈ƒ, то используется общепринятая запись y = ƒ(x), а также запись ƒ: x → y.
def. Областью определения функции ƒ называется множество
ƒ={x|∃ y ((x,y) ∈ƒ)}.
def. Областью значений функции ƒ называется множество
ƒ={y|∃ x ((x,y) ∈ƒ)}.
def. Две функции ƒ и g называют равными, если ƒ и g равны как множества, т.е.
(" x,y) (x,y) ∈ƒ ⇔(x,y) ∈ g.
def. Функции называются также отображениями. Если функция ƒ задана на паре множеств A и B, т.е. ƒ ⊆A×B, то говорят, что ƒ есть отображение из A в B. Если при этом A = Dom ƒ и Im ƒ ⊆B, то говорят, что ƒ есть отображение множества
A в B, и записывают в виде ƒ: A → B. Если A = Dom ƒ и B = Im ƒ, то говорят, что ƒ есть отображение множества A на B.
def. Образом множества C при отображении ƒ называется множество
ƒ(C)= { ƒ (x)| x ∈ C}.
def. Прообразом множества M при отображении ƒ называется множество
= { x ∈ Dom ƒ | ƒ(x) ∈ M}, т.е. множество всех тех элементов из области определения функции ƒ, для которых ƒ(x) ∈ M.
def 1.Функция ƒ называется инъективной, если для любых x,y (из Dom ƒ) из условия ƒ(x)= ƒ(y) следует, что x = y (∀x,y ∈ Dom ƒ | ƒ(x) = ƒ(y) ⇒ x = y).
Из определения следует, что функция ƒ инъективна тогда и только тогда, когда для любых x,y (из Dom ƒ), если x ≠ y, то ƒ(x) ≠ ƒ(y), т.е. для различных аргументов функция ƒ принимает различные значения (∀x,y ∈ Domƒ| x ≠ y ⇒ƒ(x) ≠ ƒ(y)).
def 2. Инъективным отображением называется отображение ƒ: X Y, если оно переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y.
def 1.Функция ƒ, заданная на паре множеств A и B, называется сюръективной, если ƒ есть отображение множества A на B, т.е. ƒ(A) = B (или каждый элемент множества B имеет по крайней мере один прообраз в множестве A).
def 2. Сюръективным отображениемназывается отображение ƒ: X Y, если в каждый элемент множества Y переходит хотя бы один элемент множества X.
def.Функция ƒ называется биективной (взаимно-однозначным соответствием или отображением), если она одновременно сюръективна и инъективна.
Отображение X Y взаимно однозначнотогда и только тогда, когда каждому элементу множества x, сопоставляется единственный элемент множества y, и обратно – каждый элемент множества y сопоставляется единственному элементу множества x.