Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости
Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢, R¢ >M,R¢¢ >M: <e.
Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела .
"e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e.
Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то
сходимость Þ сходится
расходится Þ расходится
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из соотношений
(для определенности можно считать R¢ < R¢¢ ) и критерия Коши.
Второе утверждение доказывается от противного. Если расходится, а сходится, то по первому утверждению и должен сходиться.
Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то
сходится Þ сходится
расходится Þ расходится .
Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 , , то
1) если 0<k<+¥, то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.
2) если k=0, то сходимость Þ сходимость .
3) если k=¥, то расходимость Þ расходимость .
Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства
или
(3.1)
В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (3.1), если взять e=k/2.В случае k=0следует рассмотреть правое неравенство из (3.1) для какого-нибудь e, например, e=1. В случае k=¥ для B=1 найдется M такое, что при будет выполнено
или при x > M. Тогда Так как , то и .
Теорема 2. Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.
Если f(x)³ для x, 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.
Утверждение следует из простого признака сравнения.
Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то
при p > 1 интеграл сходится,
при p £ 1 интеграл расходится.
При k = 0 и p > 1 интеграл сходится,
при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.
Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.
Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .
3.1.3. Несобственный интеграл второго рода
Пусть функция f(x)определена на [a,b)и интегрируема на любом [a,b-e], не ограничена в окрестности точки b .
Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел
= .
Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся.
В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точке b (рис. 3.1, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность справа»).
Рис. 3.1
Интеграл 2-го рода, особенность справа
Аналогично определяется интеграл 2-го рода для функции с особенностью в точке a.
Пусть функция f(x)определена на (a,b]и интегртируема на любом [a+e, b] , не ограничена в окрестности точки a.
Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел
= .
Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся (рис. 3.2, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность слева»)
Рис. 3.2
Интеграл 2-го рода, особенность слева
Для случая с особенностью в точке b интегралы , сходятся или расходятся одновременно ( a1,a2 любые числа из(a,b)). Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству:
Рассмотрим теперь случай с особенность во внутренней точке cÎ (a,b) отрезка [a,b].
Пусть f(x) определена на [a,c)È (c,b] , интегрируема на любых[a,с-e] и[c+e,b] , не ограничена в окрестности точки c. Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла , . В этом случае полагают
= + .
В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Из перечисленных свойств следует свойство аддитивности интеграла второго рода по множеству (рис. 3.3, слайд «Интеграл 2-го рода»).
Рис. 3.3
Интеграл 2-го рода
Главным значением интеграла по Коши называется предел
V.P. = .
Теорема. Если существует , то V.P. = .
Обратное неверно. Пример. V.P. =0, в то время, как интеграл расходится.
Пример. Интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.
В более общем случае, интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.
Пример. .