В упругой пористой среде по закону Дарси

Дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости

Полная система уравнений имеет вид

,

уравнение состояния упругой жидкости (вывод в теме 3),

уравнение состояния упругой пористой среды ,

k = const, μ = const ,.

Все уравнения системы определяют математическую модель, но для постановки и решения задач необходимо преобразовать уравнения, чтобы получить одно дифференциальное уравнение для одной искомой функции. Для этого рассмотрим первое уравнение системы, подставив в него функцию Лейбензона

(7.7)

После подстановки формул пористости m и плотности ρ в левую часть (7.7) и дифференцирования по времени получим (7.8)

Подставляя под знак интеграла (7.7) уравнение состояния упругой жидкости и учитывая, что жидкость слабосжимаемая и коэффициент β_ж – мал, получим

(7.9)

Подставив (7.8) и (7.9) получим дифференциальное уравнение относительно давления:

(7.10)

или в декартовой системе координат (7.11)

где коэффициент \эта строчная\ , характеризующий скорость перераспределения давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде или коэффициент пьезопроводности, лежит в пределах 0,1 – 5 м²/с.

Уравнение (7.10) – основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации илипо Щелкачеву В.Н. уравнение пьезопроводности.

Уравнение пьезопроводности (7.10) применимо только для слабосжимаемой упругой жидкости, для которой β_ж(р – р₀) < < 1. Если же это условие не выполняется, то пренебрегать под знаком интеграла в уравнении (7.9) коэффициентом β_ж нельзя. При этом дифференциальное уравнение значительно усложнится и примет нелинейный вид.