Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах
Используя вписанные и описанные многоугольники можно доказать квадрируемость кругового сектора радиуса r , заключенного между двумя лучами (с углами a, b) и вычислить его площадь, равную (рис. 2.18).
Рис. 2.18
Рассмотрим область, заключенную между лучами a, bи непрерывной кривой, заданной в полярных координатах r=r(j) ( рис. 2.19).
Рис. 2.19
Теорема. Криволинейный сектор D, определяемый лучами углов a, b (0≤a<b≤2π) и непрерывной кривой r=r(j) квадрируем и его площадь вычисляется по формуле (слайд «Площадь области»)
mD= . (2.8)
Площадь области
Доказательство. Интеграл в (2.8) существует, поэтому для заданного eсуществует разбиение D={a=j0<j1<…<jn=b} отрезка такое, что S(f,D) – s(f,D) < e, где f(j)= . Нижняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида , где mk – радиус некоторого кругового сектора, вписанного в соответствующий криволинейный сектор Dk, а верхняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида , где Mk – радиус некоторого кругового сектора, содержащего Dk (слайд «Суммы Дарбу», «Суммы Дарбу, полярные координаты»).
Суммы Дарбу
Суммы Дарбу, полярные координаты
Таким образом, для любого e можно указать две квадрируемые области, одна из которых содержится внутри исходной области, а вторая охватывает эту область. Каждая из этих областей составлена из круговых секторов и имеет площадь равную s(f,D), S(f,D),соответственно. Квадрируемость следует из второго критерия квадрируемости. Выберем последовательность разбиений с равноотстоящими узлами . Соответствующие вписанные и описанные области, состоящие из наборов круговых секторов, обозначим . Тогда между суммами Дарбу и площадями этих множеств существует следующая связь . Далее и . Эти равенства позволяют утверждать (следствие из критерия интегрируемости), что
.
Таким образом,
.
Примеры.
5.1. Вычислить площадь области, содержащейся между первым и вторым витком спирали Архимеда , как показано на рисунке 2.20, слайд «Спираль»
Рис. 2.20
Спираль
Площадь обозначенной на рисунке области будет равна
mD=
5.2. Вычислить площадь, ограниченную астроидой x2/3+y2/3=a2/3.(рис. 2.21, слайд «Астроида»)
Рис. 2.21
Астроида
Воспользуемся полярными координатами . Подставляя эти выражения в исходное уравнение астроиды, получим уравнение астроиды в полярных координатах . Площадь, ограниченная кривой будет равна
В параграфе 3 главы 1 был вычислен интеграл
.
Поэтому . Интеграл с бесконечными пределами будет рассматриваться в разделе «Несобственные интегралы».
5.3.Вычислить площадь, ограниченную кривой (трилистник, рис. 2.22, слайд «Трилистник»).
Рис. 2.22
Трилистник
Первый лепесток расположен в диапазоне , поэтому площадь трех лепестков будет равна
.
5.4. Вычислить площадь, ограниченную кривой .
, поэтому область, где расположена кривая, ограничена диапазоном . Таким образом, площадь, ограниченная кривой будет равна
5.5.Вычислить площадь, ограниченную кривой (лемниската Бернули, рис. 2.23, слайд «Лемниската Бернули»).
Воспользуемся полярными координатами . Подставляя эти выражения в уравнение лемнискаты, получим , или .
Рис. 2.23
Лемниската Бернули
.
2.4.5. Вычисление площади области, граница которой задана в виде φ=φ(r)
Позже будет выведена еще одна формула для вычисления площади области, граница которой задана параметрически. Именно, если область D ограничена замкнутой кусочно-гладкой кривой γ , имеющей параметризацию Кроме того, при проходе t от α до β область остается слева (слайд «Обход границы области»),
Обход границы области
то площадь этой области будет вычислятся по формуле:
. (2.9)
Пусть функция φ(r) непрерывна и монотонна на отрезке [r1, r2] , 0≤r1<r2. Рассмотрим область, лежащую между лучами φ1=φ(r1), φ2=φ(r2) и кривой γ: φ=φ(r) (см. рис. 2.24).
Рис. 2.24
Граница этой области состоит из трех кривых γ1, γ, γ2. Кривая γ1 может быть параметризована в виде
Аналогично, для кривой γ2 (обратите внимание на направление обхода)
И, наконец, для кривой γ имеем:
Для γ1 подинтегральное выражение в (2.9) будет равно
.
И тогда
Аналогично, для γ2
.
И тогда
Наконец, для участка γ получим
.
Таким образом, окончательно, получим формулу
. (2.10)
Пример. Найти площадь области ограниченную линией , и осью Ox.
Функция φ=4r - r3 (график показан на рис. 2.25, слайд «Площадь для поляных координат») имеет два интервала монотонности
Рис. 2.25
Площадь для полярных координат
Максимум функции равен В нашем случае . Площадь искомой области
.
Пример. Найти площадь области ограниченную линией φ=r – sin r, и осью Ox. График фунции в декартовых координатах показан на рисунке 2.26, слайд «Площадь в полярных координатах»
Рис. 2.26
Площадь в полярных координатах
Площадь области будет равна
2.5. Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения
Объемы и площади поверхностей вращения. Теоремы Гюльдена.