Квадрируемые фигуры
Длина дуги гладкой кривой
Интегрирование по частям
Теорема 2. Если функции u(x), v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то
dx = – dx= – dx (2.5)
Доказательство.
= dx = dx = dv + du.
Откуда и следует формула (2.5).
Примеры
3.3. Вычислить . Имеем
Откуда получим
3.4. Вычислить .
Если формально применить формулу (в нашем случае 1-ab=0), то Законность этой операции можно обосновать.
2.3.5. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме
Пусть функция f(x)определена на отрезке [a,b]и имеет там непрерывные производные до порядка n+1. Тогда для всех x из [a,b]справедлива формула Тейлора с остатком в интегральной форме
.
Доказательство. Обозначимостаток в формуле Тейлора Rn+1= , Uk= . Интегрируя по частям, получим
Rn+1= = + Rn= =– Un+ Rn =– Un – Un-1+ Rn-1=…= – + R1= + = . Откуда и следует доказываемая формула.
Ранее была доказана
Теорема. Если кривая
непрерывно дифференцируема, то длина ее дуги s(t) от начала кривой до точки с параметром t (рис. 2.9) является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и
.
Рис. 2.9
Следствием является
Теорема. При условии непрерывной дифференцируемости длина кривой равна
s = dt (2.6)
Рис. 2.10
Равенство (2.6) для длины кривой следует из предыдущей теоремы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Замечание 1. В плоском случае
s = dt.
Замечание 2. Если в качестве кривой рассматривается график функции f(x) на отрезке [a,b], то эту кривую можно параметризовать tÎ[a,b] и ее длина будет вычисляться по формуле s = dx.
Рис. 2.11
Замечание 3. Для графика функции, заданной в полярных координатах r(j), jÎ[a,b] длина кривай будет равна
s = dj.
Рис. 2.12
Для вывода этой формулы следует рассмотреть параметризацию кривой
, jÎ[a,b].
Примеры.
1.1. Вычислить длину кривой , y=ln cos x, .
Длина кривой будет равна .
1.2. Вычислить длину астроиды x2/3+y2/3=a2/3.(рис. 2.13, слайд «Астроида»)
Рис. 2.13
Астроида
В парметрическом виде уравнение астроиды имеет вид . Вычислим производные и подинтегральную функцию для нахождения длины дуги кривой, расположенной в первом квадранте :
, Длина всей дуги будет равна
2.4. Площадь плоской области
Квадрируемость. Криволинейна трапеция. Области с границей в полярных координатах
Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для упрощения формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником(см рис. 2.14).
Рис. 2.14
Сама ломаная L (или ломаные) называется границей многоугольника P и обозначается ¶P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+¶P (замыкание области). Для области, показанной на рисунке, граница состоит из двух замкнутых ломаных. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников (эта площадь находится триангуляцией, разбиением области на треугольники Рис. 2.15).
Рис. 2.15
Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Кроме того, мы в дальнейшем будем рассматривать только множества, ограниченные одной или несколькими замкнутыми кривыми.
Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì DȶD (¶D – кривая, ограничивающая область D). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É DȶD. Площадь многоугольника P будем обозначать через mP (см. слайд «Вписанные и описанные многоугольники»).
Вписанные и описанные многоугольники
Для площади многоугольников известно свойство монотонности: если PÌQ, то mP £ mQ.
Определение. Нижней площадью области D назовем величину mD = sup mPi , где точная верхняя грань берется по всевозможным вписанным многоугольникам.
Верхней площадью области D назовем величину = inf mPe , где точная нижняя грань берется по всевозможным описанным многоугольникам.
Как уже отмечалось, мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто. В этом случае верхние и нижние площади будут существовать.
Лемма. mD £ .
Доказательство. От противного.Пусть £ mD (см. слайд «Неравенство между нижней и верхней площадью»).
Неравенство между нижней и верхней площадью
Выбираем непересекающиеся окрестности чисел , mD . По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника Pi , Pe , один с площадью mPe из выбранной окрестности числа , другой с площадью из окрестности числа mD . Согласно выбору окрестностей mPe < mPi , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.
Следствие. Для любых Pi , Pe выполняется mPi £ mD £ £ mPe .
Определение. Область D называется квадрируемой, если = mD. Эта общая величина называется площадью и обозначается mD.
Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0 существуют два многоугольника (описанный и вписанный) Pe , Pi такие, что mPe - mPi <e .
Доказательство. Как уже отмечалось для любых Pe , Pi выполняются неравенства
mPi £ mD £ £ mPe ,
откуда и следует требуемое утверждение.
Следствие . Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности многоугольников , такие, что .
Замечание. Для многольников, указанных в этом следствии , справедливы равенства .
Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.
Если область D имеет границу ¶D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ¶D имела площадь равную нулю.
Если многоугольники Pe и Pi имеют разность площадей mPe - mPi < , то область Pe \Pi (полоса между ломаными, ограничивающими многоугольники Pe , Pi )имеет площадь m (Pe \Pi )< и содержит границу области D. Справедливо и обратное утверждение. Если многоугольник Q с площадью m (Q )< покрывает границу области D, то из его границ можно собрать границы двух многоугольников Pe и Pi с разностью площадей mPe - mPi < (без доказательства).