Вычисление интегралов от элементарных дробей

Метод неопределенных коэффициентов

Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)^aQ₁(x), Q₁(a)¹0,a³ 1. Тогда существует A и многочлен P₁(x) такие, что

,

где - правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ₁(x)меньше порядка знаменателя.Положим , тогда для числителя число a будет корнем и =(x-a)P₁(x). Если это выражение поделить на Q(x), то получиться требуемое равенство.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и z=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x²+px+q)^bQ₁(x), Q₁(z)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P₁(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где - правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по попарно простым корням

a₁,a₂,…,a_r,z₁,z₂,…,z_s, (x - z_k)(x - )=x²+p_kx+q_k

кратностей a₁,…,a_r,b₁,…,b_s . Тогда дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. В этом представлении каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида , а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей .

Другими словами существуют вещественные числа , такие, что справедлива формула

= +…+ + +…+ (1.1)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a₁в знаменателе понижена на единицуи к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз, мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a₁ .

=+ .

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.

= +…+ + .

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

Для нахождения коэффициентов разложения (1.1) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

Пример. ,

,

1 = A(x²+4x+4)+B(x²+x -2)+C (x- 1) откуда ,

A=-B, 3A+C=0, 6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

I. Дроби вида .

для a¹1 и .

II. Дроби вида .

1) b = 1

, где u=x+p/2, a²=q - p²/4.Далее ln ( u²+a² )+С.

+C.

2) b> 1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

= =

= = .

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно

 

позволяющее вычислять последовательно интегралы J_n , последующий по предыдущему .

Пример. Вычислить интеграл . Далее И окончательно получим .

 

1.3 Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей. Дифференциальные биномы. Интегрирование трансцендентных функций.