Ряд Лорана
.
Глава 2. ИНТЕГРАЛ ОТ ФКП. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.
§1. Интеграл Коши (от ФКП)
Определение. Кривая на комплексной плоскости - отображение , где .
Если и - непрерывные кусочно-гладкие функции, то - непрерывная кусочно-гладкая кривая.
Определение. Пусть дано разбиение кривой точками . - длина дуги - максимальная длина участка разбиения дуги.
(1)
- интеграл от ФКП , если этот предел существует и конечен.
Выразим интеграл Коши (1) через криволинейные интегралы от функций действительных переменных.
.
.
(2)
В правой части формулы – криволинейные интегралы 2 рода.
Из формулы (2) из соответствующих свойств криволинейных интегралов вытекают основные свойства интеграла от ФКП:
1) Линейность. (Не нуждается в пояснениях)
2) Аддитивность по путям интегрирования.
3) , где - длина кривой .
4) Равномерный предел последовательности непрерывных функций интегрируем и .
5) Замена переменной происходит аналогично действительным криволинейным интегралам.
§2. Теорема Коши (Интегральная)
ТЕОРЕМА 1. (Коши) Пусть дана функция , аналитичная в области . .
Тогда интеграл от по любому замкнутому несамопересекающемуся кусочно-гладкому контуру равен 0:
.
Замечание.Такой контур (несамопересекающийся, кусочно-гладкий) будем называть кривой Жордано. (Без доказательства)
ТЕОРЕМА 2. (Обобщённая теорема Коши) Пусть (т. е. аналитичная в и непрерывная в . -Жорданова кривая. Тогда
(Без доказательства)
ТЕОРЕМА 3. (Интегральная формула Коши)Пусть аналитична в , где - односвязная область, её граница - кусочно-гладкая Жорданова кривая, . Тогда
(Верхний случай – точка внутри области. Нижний – точка вне области. Доказательство нулевого результата вытекает из теоремы 2. В случае принадлежности точки к границе области () на пути интегрирования попадается сильная неинтегрируемая особенность (В одной из точек придётся делить на 0, невозможно взять интеграл Коши). Этот случай в данном курсе не рассматривается.)
Пример.Вычислить в случаях а)охватывает , но не включает . б) Наоборот в)Охватывает обе точки
Решение. а)По интегральной формуле Коши .
Получим
б)Аналогично
в)Разделим особенности
Можно разбить контур на два более простых (с общей границей) и проинтегрировать по каждому.
Некоторые следствия
ТЕОРЕМА 4. (Ллувилля) Если функция аналитична и ограничена на по модулю на всей комплексной плоскости, то она постоянна.
()
Доказательство: 1)Сначала оценим интеграл, используя интегральную формулу Коши.
С другой стороны из свойств интеграла получим:
Т. к. , а (это длина окружности), по теореме об интегральном среднем выносим максимум.
2)по свойствам модуля.
, т. е. для произвольных .
Степенные ряды, в том числе ряды Тейлора, на действительной оси и на комплексной плоскости имеют много общего и верны основные результаты:
Для разложения ФКП в ряд Тейлора лучше пользоваться стандартными разложениями.
Наиболее близок к степенному ряду ряд вида
(1)
- ряд Лорана (по степеням или относительно точки ).
ТЕОРЕМА 1. (Лорана)Пусть функция аналитична в кольце . Тогда внутри (т. е. для любой точки разлагается в ряд Лорана
, где
Замечания: 1) В окрестности бесконечно удалённой точки функция разлагается в ряд Лорана по степеням , т. е. функция .
2) В окрестности конечной точки можно выделить .
Здесь первая сумма – главная (иррегулярная) часть ряда Лорана, вторая сумма – правильная (регулярная) часть ряда Лорана. Поведение иррегулярной части тяжело описать аналитически.
По ряду Лорана будем судить об аналитичности функции в точке.
- имеем ошибку деления на 0 в .
3)Относительно точки имеем
,
Где первая сумма – правильная часть ряда, ; вторая сумма – главная часть ряда Лорана, даст особенности на бесконечно удалённой точке.
Упражнение (Пример 2).Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки а)б) , в обоих случаях выделить главную и правильную части.
Решение.
а) . - главная часть, на нуле обращается в .
б) . В обращаются .