Доказательство.Пусть существует . (Она одинакова по всем направлениям) Вычислим эту производную как предел в точке по направлению, параллельному оси . .
.
Далее аналогично и/или используя формулу Коши-Римана.
Замечание. Проще вычислять производные не по формуле, а по свойствам аналитических ФКП, которые будут перечислены ниже.
Определение.Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Функция аналитическая в области , если она аналитична в каждой точке этой области и обозначается , где - пространство аналитических функций в области .
Чтобы найти область аналитичности, надо узнать, в какой области она дифференцируема. (Но это трудоёмко.)