Особые точки и линии потенциального поля

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое электрическим током силы I, текущим по бесконечному проводу вдоль оси Oz. Как мы уже говорили в предыдущей лекции, магнитное поле такого проводника определяется формулой:

.

Поскольку , то данное поле является потенциальным. Однако циркуляция этого поля вдольокружности, лежащего в плоскости xOy отлично от нуля (см. пример 7.3):

.

Таким образом, в данном примере вроде бы возникает противоречие: ротор магнитного поля равен нулю, но циркуляция по контуру, лежащему в области непрерывности поля, не равна нулю. Это связано с тем, что данное векторное поле не удовлетворяет условию односвязности.

Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых поле теряет свойство непрерывности, то такие точки называются особыми. В трехмерном пространстве особые точки могут располагаться вдоль некоторой линии. Такие особые линии называют вихревыми шнурами. Это связано с тем, что потенциальное поле, в котором есть вихревой шнур, не являются односвязными. Замкнутый контур, охватывающий вихревой шнур нельзя стянуть в точку, не пересекая границ поля. Следовательно, циркуляция потенциального поля по такому контуру не обязательно равна нулю.

Теорема. Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру, который охватывает один раз данный вихревой шнур и не охватывает других вихревых шнуров, есть величина постоянная, независящая ни от формы, ни от положения контура.

Действительно, рассмотрим два замкнутых контура (A₁B₁C₁A₁) и (A₂B₂C₂A₂), охватывающих по одному разу вихревой шнур L (рис. 8.3). Соединим точки A₁ и A₂ этих контуров линией (A₁A₂) и рассмотрим получившийся новый замкнутый контур (A₁A₂C₂B₂A₂A₁B₁C₁A₁), в котором линия (A₁A₂) повторяется два раза. Этот контур можно стянуть в одну точку, не пересекая границ поля. Следовательно, циркуляция поля a по этому контуру будет равна нулю. При этом, интеграл по линиям (A₁A₂) и (A₂A₁) взаимно уничтожаются. Поэтому можно написать:

.

Отсюда получаем

Что и требовалось доказать.

Циркуляция по контуру, обходящему данный вихревой шнур один раз в положительном направлении, не зависит от формы контура и называется интенсивностью или мощностью вихревого шнура (или циклической постоянной особой линии или особой точки, если поле является плоским).

Замечание 1. Знак интенсивности вихревого шнура зависит от направления обхода контура. Обычно выбирают определенное направление самого вихревого шнура и обхода контура по правилу правого винта.

Замечание 2. Отношение циркуляции поля по замкнутому контуру, который охватывает один вихревой шнур с мощностью, к площади поверхности S, ограниченный этим контуром, т.е.

,

стремится к бесконечности, когда контур L и ограниченная им область S стягивается в точку. Следовательно, можно сказать, что во всех точках вихревого шнура, с ненулевой интенсивностью, ротор поля равен бесконечности.

Замечание 3. Если контур L обвивает вихревой шнур несколько раз, то циркуляция поля вдоль этого контура равна произведению мощности J шнура на число n обходов вокруг шнура:

.

Замечание 4. В гидродинамике вихревым шнуром является линия, вокруг которой происходит вращательное движение жидкости наподобие смерча. В теории электромагнетизма вихревым шнуром является провод, по которому течет ток.