Ротор векторного поля

Понятие дивергенции как локального свойства векторного поля было введено при рассмотрении потока векторного поля на замкнутой поверхности. Аналогично можно ввести соответствующую характеристику при рассмотрении циркуляции векторного поля.

Рассмотрим некоторую точку M и векторное поле a. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором n и плоскость, перпен­дикулярную к вектору n и проходящую через точку M. Окружим точку M контуром L, лежащим в заданной плоскости. Вычислим циркуляцию векторного поля по этому контуру и возьмем отношение этой циркуляции к площади S, ограниченной контуром L:

Найдем теперь предел этого отношения при S®0, при условии, что контур L стягивается в точку M, не выходя из плоскости. Этот предел называется ротором векторного поля a в точке M:

. (7.6)

Замечание 3. Ротор есть характеристика "вращательной составляющей" векторного поля, поэтому его обозначают как rot. Однако иногда вместо слова ротор используют термин "вихрь" и обозначают символом curl.

Выведем теперь формулу для ротора в декартовой системе координат. Пусть n совпадает с направлением оси Oz, а контуром L является прямоугольник со сторонами Dx и Dy, при этом контур обходится против часовой стрелки (см. рис. 7.3). Тогда получим

.

Для первого слагаемого получаем

(отрезки DA и BC можно не учитывать, поскольку здесь x=const и dx=0). Далее

.

Аналогично получаем для второго слагаемого

.

В результате, находим

.

Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:

, .

В векторной форме это можно следующим образом:

. (7.7)

Эту формулу можно записать более компактно в символической форме:

. (7.8)

Формула (7.7) получается из (7.8) путем разложения определителя по первой строке.

Пример 7.4. Вычислить ротор векторного поля a=x²y³i+j+zk в точке M(1;1;1).

Решение. Записываем

.

Таким образом,

.

Пример 7.5. Найти ротор поля скоростей вращающего тела v=–wyi+wxj.

Решение. Поскольку v_x=–wy, v_y=wx, v_z=0, то

.

Итак, ротор скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости. Найденный механический смысл ротора имеет более широкое значение. Например, колесо с лопастями в потоке жидкости будет иметь максимальную скорость вращения, если ось вращения будет направлена вдоль rota, при этом скорость вращения будет равна .